Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} (y - 6) = 12 y + 3$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{2} (y - 6)) = \frac{d}{d x} (12 y + 3)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y - 6$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y - 6] + (y - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6]) + (y - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x^{2} (y' + \frac{d}{d x} [- 6]) + (y - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.4

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{2} (y' + 0) + (y - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.5

Additionnez $y'$ et $0$ .

$x^{2} y' + (y - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} y' + (y - 6) (2 x)$

Étape 2.7

Déplacez $2$ à gauche de $y - 6$ .

$x^{2} y' + 2 \cdot (y - 6) x$

Étape 2.8

Simplifiez

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Étape 2.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} y' + (2 y + 2 \cdot - 6) x$

Étape 2.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} y' + 2 y x + 2 \cdot - 6 x$

Étape 2.8.3

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$x^{2} y' + 2 y x - 12 x$

Étape 2.8.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$x^{2} y' + 2 x y - 12 x$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 y + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12 y] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [12 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 y]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 y$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [y]$ .

$12 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 3.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$12 y' + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$12 y' + 0$

Étape 3.3.2

Additionnez $12 y'$ et $0$ .

$12 y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$x^{2} y' + 2 x y - 12 x = 12 y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $12 y'$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} y' + 2 x y - 12 x - 12 y' = 0$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $2 x y$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} y' - 12 x - 12 y' = - 2 x y$

Étape 5.2.2

Ajoutez $12 x$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} y' - 12 y' = - 2 x y + 12 x$

Étape 5.3

Factorisez $y'$ à partir de $x^{2} y' - 12 y'$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $y'$ à partir de $x^{2} y'$ .

$y' x^{2} - 12 y' = - 2 x y + 12 x$

Étape 5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $- 12 y'$ .

$y' x^{2} + y' \cdot - 12 = - 2 x y + 12 x$

Étape 5.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' x^{2} + y' \cdot - 12$ .

$y' (x^{2} - 12) = - 2 x y + 12 x$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $y' (x^{2} - 12) = - 2 x y + 12 x$ par $x^{2} - 12$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $y' (x^{2} - 12) = - 2 x y + 12 x$ par $x^{2} - 12$ .

$\frac{y' (x^{2} - 12)}{x^{2} - 12} = \frac{- 2 x y}{x^{2} - 12} + \frac{12 x}{x^{2} - 12}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2} - 12$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (x^{2} - 12)}{x^{2} - 12} = \frac{- 2 x y}{x^{2} - 12} + \frac{12 x}{x^{2} - 12}$

Étape 5.4.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 2 x y}{x^{2} - 12} + \frac{12 x}{x^{2} - 12}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 2 x y + 12 x}{x^{2} - 12}$

Étape 5.4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.3.2.1

Factorisez $2 x$ à partir de $- 2 x y + 12 x$ .

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Étape 5.4.3.2.1.1

Factorisez $2 x$ à partir de $- 2 x y$ .

$y' = \frac{2 x (- 1 y) + 12 x}{x^{2} - 12}$

Étape 5.4.3.2.1.2

Factorisez $2 x$ à partir de $12 x$ .

$y' = \frac{2 x (- 1 y) + 2 x (6)}{x^{2} - 12}$

Étape 5.4.3.2.1.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (- 1 y) + 2 x (6)$ .

$y' = \frac{2 x (- 1 y + 6)}{x^{2} - 12}$

Étape 5.4.3.2.2

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$y' = \frac{2 x (- y + 6)}{x^{2} - 12}$

Étape 5.4.3.3

Simplifiez en factorisant.

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Étape 5.4.3.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- y$ .

$y' = \frac{2 x (- (y) + 6)}{x^{2} - 12}$

Étape 5.4.3.3.2

Réécrivez $6$ comme $- 1 (- 6)$ .

$y' = \frac{2 x (- (y) - 1 (- 6))}{x^{2} - 12}$

Étape 5.4.3.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y) - 1 (- 6)$ .

$y' = \frac{2 x (- (y - 6))}{x^{2} - 12}$

Étape 5.4.3.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.4.3.3.4.1

Réécrivez $- (y - 6)$ comme $- 1 (y - 6)$ .

$y' = \frac{2 x (- 1 (y - 6))}{x^{2} - 12}$

Étape 5.4.3.3.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{(2 x) (y - 6)}{x^{2} - 12}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{(2 x) (y - 6)}{x^{2} - 12}$