Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{2 x + y}{x - 5 y} = 1$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\frac{2 x + y}{x - 5 y}) = \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 2 x + y$ et $g (x) = x - 5 y$ .

$\frac{(x - 5 y) \frac{d}{d x} [2 x + y] - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x - 5 y]}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{(x - 5 y) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y]) - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x - 5 y]}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Étape 2.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x - 5 y) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x - 5 y]}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x - 5 y) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y]) - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x - 5 y]}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Étape 2.2.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{(x - 5 y) (2 + \frac{d}{d x} [y]) - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x - 5 y]}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{(x - 5 y) (2 + y') - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x - 5 y]}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Étape 2.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 5 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$ .

$\frac{(x - 5 y) (2 + y') - (2 x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 y])}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x - 5 y) (2 + y') - (2 x + y) (1 + \frac{d}{d x} [- 5 y])}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Étape 2.6

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 y$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{(x - 5 y) (2 + y') - (2 x + y) (1 - 5 \frac{d}{d x} [y])}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Étape 2.7

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{(x - 5 y) (2 + y') - (2 x + y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Étape 2.8

Simplifiez

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Étape 2.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x - 5 y) (2 + y') + (- (2 x) - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Étape 2.8.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.8.2.1.1

Développez $(x - 5 y) (2 + y')$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.8.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 + y') - 5 y (2 + y') + (- (2 x) - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Étape 2.8.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot 2 + x y' - 5 y (2 + y') + (- (2 x) - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Étape 2.8.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot 2 + x y' - 5 y \cdot 2 - 5 y y' + (- (2 x) - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Étape 2.8.2.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.8.2.1.2.1

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{2 \cdot x + x y' - 5 y \cdot 2 - 5 y y' + (- (2 x) - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Étape 2.8.2.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' + (- (2 x) - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Étape 2.8.2.1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' + (- 2 x - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Étape 2.8.2.1.4

Développez $(- 2 x - y) (1 - 5 y')$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.8.2.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x (1 - 5 y') - y (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Étape 2.8.2.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 5 y') - y (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Étape 2.8.2.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 5 y') - y \cdot 1 - y (- 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Étape 2.8.2.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.8.2.1.5.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x - 2 x (- 5 y') - y \cdot 1 - y (- 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Étape 2.8.2.1.5.2

Multipliez $- 5$ par $- 2$ .

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x + 10 x y' - y \cdot 1 - y (- 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Étape 2.8.2.1.5.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x + 10 x y' - y - y (- 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Étape 2.8.2.1.5.4

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x + 10 x y' - y + 5 y y'}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Étape 2.8.2.2

Associez les termes opposés dans $2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x + 10 x y' - y + 5 y y'$ .

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Étape 2.8.2.2.1

Soustrayez $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{x y' - 10 y - 5 y y' + 0 + 10 x y' - y + 5 y y'}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Étape 2.8.2.2.2

Additionnez $x y' - 10 y - 5 y y'$ et $0$ .

$\frac{x y' - 10 y - 5 y y' + 10 x y' - y + 5 y y'}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Étape 2.8.2.2.3

Additionnez $- 5 y y'$ et $5 y y'$ .

$\frac{x y' - 10 y + 10 x y' - y + 0}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Étape 2.8.2.2.4

Additionnez $x y' - 10 y + 10 x y' - y$ et $0$ .

$\frac{x y' - 10 y + 10 x y' - y}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Étape 2.8.2.3

Additionnez $x y'$ et $10 x y'$ .

$\frac{11 x y' - 10 y - y}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Étape 2.8.2.4

Soustrayez $y$ de $- 10 y$ .

$\frac{11 x y' - 11 y}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Étape 2.8.3

Factorisez $11$ à partir de $11 x y' - 11 y$ .

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Étape 2.8.3.1

Factorisez $11$ à partir de $11 x y'$ .

$\frac{11 (x y') - 11 y}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Étape 2.8.3.2

Factorisez $11$ à partir de $- 11 y$ .

$\frac{11 (x y') + 11 (- y)}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Étape 2.8.3.3

Factorisez $11$ à partir de $11 (x y') + 11 (- y)$ .

$\frac{11 (x y' - y)}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Étape 3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\frac{11 (x y' - y)}{{(x - 5 y)}^{2}} = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$11 (x y' - y) = 0$

Étape 5.2

Résolvez l’équation pour $y'$ .

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $11 (x y' - y) = 0$ par $11$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1.1

Divisez chaque terme dans $11 (x y' - y) = 0$ par $11$ .

$\frac{11 (x y' - y)}{11} = \frac{0}{11}$

Étape 5.2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $11$ .

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Étape 5.2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{11 (x y' - y)}{11} = \frac{0}{11}$

Étape 5.2.1.2.1.2

Divisez $x y' - y$ par $1$ .

$x y' - y = \frac{0}{11}$

Étape 5.2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1.3.1

Divisez $0$ par $11$ .

$x y' - y = 0$

Étape 5.2.2

Ajoutez $y$ aux deux côtés de l’équation.

$x y' = y$

Étape 5.2.3

Divisez chaque terme dans $x y' = y$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 5.2.3.1

Divisez chaque terme dans $x y' = y$ par $x$ .

$\frac{x y'}{x} = \frac{y}{x}$

Étape 5.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y'}{x} = \frac{y}{x}$

Étape 5.2.3.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{y}{x}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x}$