Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4}) = \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{16}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $\frac{1}{16}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{2}}{16}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{16} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{16} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{16} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Étape 2.2.3

Associez $2$ et $\frac{1}{16}$ .

$\frac{2}{16} x + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Étape 2.2.4

Associez $\frac{2}{16}$ et $x$ .

$\frac{2 x}{16} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Étape 2.2.5

Annulez le facteur commun à $2$ et $16$ .

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Étape 2.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{2 (x)}{16} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Étape 2.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$\frac{2 x}{2 \cdot 8} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Étape 2.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2 \cdot 8} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Étape 2.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x}{8} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{y^{2}}{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{4} (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{4} (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{4} (2 y y')$

Étape 2.3.4

Associez $2$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x}{8} + \frac{2}{4} (y y')$

Étape 2.3.5

Associez $y$ et $\frac{2}{4}$ .

$\frac{x}{8} + \frac{y \cdot 2}{4} y'$

Étape 2.3.6

Associez $\frac{y \cdot 2}{4}$ et $y'$ .

$\frac{x}{8} + \frac{y \cdot 2 y'}{4}$

Étape 2.3.7

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$\frac{x}{8} + \frac{2 \cdot y y'}{4}$

Étape 2.3.8

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 2.3.8.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y y'$ .

$\frac{x}{8} + \frac{2 (y y')}{4}$

Étape 2.3.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{x}{8} + \frac{2 (y y')}{2 \cdot 2}$

Étape 2.3.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x}{8} + \frac{2 (y y')}{2 \cdot 2}$

Étape 2.3.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x}{8} + \frac{y y'}{2}$

Étape 3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\frac{x}{8} + \frac{y y'}{2} = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $\frac{x}{8}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y y'}{2} = - \frac{x}{8}$

Étape 5.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{y y'}{2} = 2 (- \frac{x}{8})$

Étape 5.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y y'}{2} = 2 (- \frac{x}{8})$

Étape 5.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y y' = 2 (- \frac{x}{8})$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.1

Simplifiez $2 (- \frac{x}{8})$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x}{8}$ dans le numérateur.

$y y' = 2 \frac{- x}{8}$

Étape 5.3.2.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$y y' = 2 \frac{- x}{2 (4)}$

Étape 5.3.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$y y' = 2 \frac{- x}{2 \cdot 4}$

Étape 5.3.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$y y' = \frac{- x}{4}$

Étape 5.3.2.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y y' = - \frac{x}{4}$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $y y' = - \frac{x}{4}$ par $y$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $y y' = - \frac{x}{4}$ par $y$ .

$\frac{y y'}{y} = \frac{- \frac{x}{4}}{y}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- \frac{x}{4}}{y}$

Étape 5.4.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- \frac{x}{4}}{y}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y' = - \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{y}$

Étape 5.4.3.2

Multipliez $\frac{1}{y}$ par $\frac{x}{4}$ .

$y' = - \frac{x}{y \cdot 4}$

Étape 5.4.3.3

Déplacez $4$ à gauche de $y$ .

$y' = - \frac{x}{4 y}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{4 y}$