Calcul infinitésimal Exemples

${(x^{2} + y^{2})}^{2} = \frac{25}{4} \cdot (x y^{2})$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

${(x^{2} + y^{2})}^{2} = \frac{25}{4} \cdot (x y^{2})$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} ({(x^{2} + y^{2})}^{2}) = \frac{d}{d x} (\frac{25}{4} \cdot (x y^{2}))$

Étape 3

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2} + y^{2}$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Étape 3.5.2

Réorganisez les facteurs de $(2 x^{2} + 2 y^{2}) (2 x + 2 y y')$ .

$(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2})$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 4.1.1

Associez $x$ et $\frac{25}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x \cdot 25}{4} \cdot y^{2}]$

Étape 4.1.2

Associez les fractions.

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Étape 4.1.2.1

Associez $\frac{x \cdot 25}{4}$ et $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x \cdot 25 y^{2}}{4}]$

Étape 4.1.2.2

Déplacez $25$ à gauche de $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{25 \cdot x y^{2}}{4}]$

Étape 4.1.3

Comme $\frac{25}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{25 x y^{2}}{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{25}{4} \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$\frac{25}{4} \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y^{2}$ .

$\frac{25}{4} (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 4.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{25}{4} (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{25}{4} (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$\frac{25}{4} (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.4

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{25}{4} (2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.5

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{25}{4} (2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{25}{4} (2 x y y' + y^{2} \cdot 1)$

Étape 4.7

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$\frac{25}{4} (2 x y y' + y^{2})$

Étape 4.8

Simplifiez

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Étape 4.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{25}{4} (2 x y y') + \frac{25}{4} y^{2}$

Étape 4.8.2

Associez des termes.

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Étape 4.8.2.1

Associez $2$ et $\frac{25}{4}$ .

$\frac{2 \cdot 25}{4} (x y y') + \frac{25}{4} y^{2}$

Étape 4.8.2.2

Multipliez $2$ par $25$ .

$\frac{50}{4} (x y y') + \frac{25}{4} y^{2}$

Étape 4.8.2.3

Associez $x$ et $\frac{50}{4}$ .

$\frac{x \cdot 50}{4} (y y') + \frac{25}{4} y^{2}$

Étape 4.8.2.4

Associez $y$ et $\frac{x \cdot 50}{4}$ .

$\frac{y (x \cdot 50)}{4} y' + \frac{25}{4} y^{2}$

Étape 4.8.2.5

Associez $\frac{y (x \cdot 50)}{4}$ et $y'$ .

$\frac{y (x \cdot 50) y'}{4} + \frac{25}{4} y^{2}$

Étape 4.8.2.6

Déplacez $50$ à gauche de $x$ .

$\frac{y (50 \cdot x) y'}{4} + \frac{25}{4} y^{2}$

Étape 4.8.2.7

Déplacez $50$ à gauche de $y$ .

$\frac{50 \cdot y x y'}{4} + \frac{25}{4} y^{2}$

Étape 4.8.2.8

Annulez le facteur commun à $50$ et $4$ .

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Étape 4.8.2.8.1

Factorisez $2$ à partir de $50 y x y'$ .

$\frac{2 (25 y x y')}{4} + \frac{25}{4} y^{2}$

Étape 4.8.2.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.8.2.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 (25 y x y')}{2 (2)} + \frac{25}{4} y^{2}$

Étape 4.8.2.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (25 y x y')}{2 \cdot 2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Étape 4.8.2.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Étape 6

Résolvez $y'$ .

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Étape 6.1

Simplifiez $(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2})$ .

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Étape 6.1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + (2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Étape 6.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Étape 6.1.3

Développez $(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x (2 x^{2} + 2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2} + 2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Étape 6.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2} + 2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Étape 6.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Étape 6.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \cdot 2 x \cdot x^{2} + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Étape 6.1.4.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.4.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$2 \cdot 2 (x^{2} x) + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Étape 6.1.4.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 6.1.4.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 \cdot 2 (x^{2} x^{1}) + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Étape 6.1.4.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \cdot 2 x^{2 + 1} + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Étape 6.1.4.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$2 \cdot 2 x^{3} + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Étape 6.1.4.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x^{3} + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Étape 6.1.4.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 x^{3} + 2 \cdot 2 x y^{2} + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Étape 6.1.4.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Étape 6.1.4.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 y y' (2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Étape 6.1.4.7

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.4.7.1

Déplacez $y^{2}$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y) y' \cdot 2 = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Étape 6.1.4.7.2

Multipliez $y^{2}$ par $y$ .

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Étape 6.1.4.7.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y^{1}) y' \cdot 2 = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Étape 6.1.4.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 y^{2 + 1} y' \cdot 2 = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Étape 6.1.4.7.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 y^{3} y' \cdot 2 = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Étape 6.1.4.8

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Étape 6.2

Associez $\frac{25}{4}$ et $y^{2}$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25 y^{2}}{4}$

Étape 6.3

Soustrayez $\frac{25 y x y'}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - \frac{25 y x y'}{2} = \frac{25 y^{2}}{4}$

Étape 6.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.4.1

Soustrayez $4 x^{3}$ des deux côtés de l’équation.

$4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - \frac{25 y x y'}{2} = \frac{25 y^{2}}{4} - 4 x^{3}$

Étape 6.4.2

Soustrayez $4 x y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - \frac{25 y x y'}{2} = \frac{25 y^{2}}{4} - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

Étape 6.5

Factorisez $y y'$ à partir de $4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - \frac{25 y x y'}{2}$ .

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Étape 6.5.1

Factorisez $y y'$ à partir de $4 y y' x^{2}$ .

$y y' (4 x^{2}) + 4 y^{3} y' - \frac{25 y x y'}{2} = \frac{25 y^{2}}{4} - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

Étape 6.5.2

Factorisez $y y'$ à partir de $4 y^{3} y'$ .

$y y' (4 x^{2}) + y y' (4 y^{2}) - \frac{25 y x y'}{2} = \frac{25 y^{2}}{4} - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

Étape 6.5.3

Factorisez $y y'$ à partir de $- \frac{25 y x y'}{2}$ .

$y y' (4 x^{2}) + y y' (4 y^{2}) + y y' (- \frac{25 x}{2}) = \frac{25 y^{2}}{4} - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

Étape 6.5.4

Factorisez $y y'$ à partir de $y y' (4 x^{2}) + y y' (4 y^{2})$ .

$y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) + y y' (- \frac{25 x}{2}) = \frac{25 y^{2}}{4} - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

Étape 6.5.5

Factorisez $y y'$ à partir de $y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) + y y' (- \frac{25 x}{2})$ .

$y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2}) = \frac{25 y^{2}}{4} - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

Étape 6.6

Divisez chaque terme dans $y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2}) = \frac{25 y^{2}}{4} - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$ par $y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})$ et simplifiez.

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Étape 6.6.1

Divisez chaque terme dans $y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2}) = \frac{25 y^{2}}{4} - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$ par $y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})$ .

$\frac{y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})} = \frac{\frac{25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Étape 6.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.6.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 6.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 6.6.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}{4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2}} = \frac{\frac{25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Étape 6.6.2.2

Annulez le facteur commun de $4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2}$ .

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Étape 6.6.2.2.1

Annulez le facteur commun.

Étape 6.6.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{\frac{25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Étape 6.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.6.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{\frac{25 y^{2}}{4} - 4 x^{3} - 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Étape 6.6.3.2

Réorganisez les facteurs de $- 4 x y^{2}$ .

$y' = \frac{\frac{25 y^{2}}{4} - 4 x^{3} - 4 y^{2} x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Étape 6.6.3.3

Soustrayez $4 y^{2} x$ de $\frac{25 y^{2}}{4}$ .

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Étape 6.6.3.3.1

Remettez dans l’ordre $\frac{25 y^{2}}{4}$ et $- 4 x y^{2}$ .

$y' = \frac{- 4 x^{3} - 4 x y^{2} + \frac{25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Étape 6.6.3.3.2

Pour écrire $- 4 x y^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$y' = \frac{- 4 x^{3} - 4 x y^{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Étape 6.6.3.3.3

Associez $- 4 x y^{2}$ et $\frac{4}{4}$ .

$y' = \frac{- 4 x^{3} + \frac{- 4 x y^{2} \cdot 4}{4} + \frac{25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Étape 6.6.3.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 4 x^{3} + \frac{- 4 x y^{2} \cdot 4 + 25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Étape 6.6.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.6.3.4.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $- 4 x y^{2} \cdot 4 + 25 y^{2}$ .

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Étape 6.6.3.4.1.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $- 4 x y^{2} \cdot 4$ .

$y' = \frac{- 4 x^{3} + \frac{y^{2} (- 4 x \cdot 4) + 25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Étape 6.6.3.4.1.2

Factorisez $y^{2}$ à partir de $25 y^{2}$ .

$y' = \frac{- 4 x^{3} + \frac{y^{2} (- 4 x \cdot 4) + y^{2} \cdot 25}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Étape 6.6.3.4.1.3

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{2} (- 4 x \cdot 4) + y^{2} \cdot 25$ .

$y' = \frac{- 4 x^{3} + \frac{y^{2} (- 4 x \cdot 4 + 25)}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Étape 6.6.3.4.2

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$y' = \frac{- 4 x^{3} + \frac{y^{2} (- 16 x + 25)}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Étape 6.6.3.5

Pour écrire $- 4 x^{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$y' = \frac{- 4 x^{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{y^{2} (- 16 x + 25)}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Étape 6.6.3.6

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.3.6.1

Associez $- 4 x^{3}$ et $\frac{4}{4}$ .

$y' = \frac{\frac{- 4 x^{3} \cdot 4}{4} + \frac{y^{2} (- 16 x + 25)}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Étape 6.6.3.6.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{\frac{- 4 x^{3} \cdot 4 + y^{2} (- 16 x + 25)}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Étape 6.6.3.7

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.3.7.1

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$y' = \frac{\frac{- 16 x^{3} + y^{2} (- 16 x + 25)}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Étape 6.6.3.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$y' = \frac{\frac{- 16 x^{3} + y^{2} (- 16 x) + y^{2} \cdot 25}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Étape 6.6.3.7.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' = \frac{\frac{- 16 x^{3} - 16 y^{2} x + y^{2} \cdot 25}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Étape 6.6.3.7.4

Déplacez $25$ à gauche de $y^{2}$ .

$y' = \frac{\frac{- 16 x^{3} - 16 y^{2} x + 25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Étape 6.6.3.8

Simplifiez en factorisant.

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Étape 6.6.3.8.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 16 x^{3}$ .

$y' = \frac{\frac{- (16 x^{3}) - 16 y^{2} x + 25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Étape 6.6.3.8.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 16 y^{2} x$ .

$y' = \frac{\frac{- (16 x^{3}) - (16 y^{2} x) + 25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Étape 6.6.3.8.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (16 x^{3}) - (16 y^{2} x)$ .

$y' = \frac{\frac{- (16 x^{3} + 16 y^{2} x) + 25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Étape 6.6.3.8.4

Factorisez $- 1$ à partir de $25 y^{2}$ .

$y' = \frac{\frac{- (16 x^{3} + 16 y^{2} x) - (- 25 y^{2})}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Étape 6.6.3.8.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (16 x^{3} + 16 y^{2} x) - (- 25 y^{2})$ .

$y' = \frac{\frac{- (16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2})}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Étape 6.6.3.8.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.6.3.8.6.1

Réécrivez $- (16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2})$ comme $- 1 (16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2})$ .

$y' = \frac{\frac{- 1 (16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2})}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Étape 6.6.3.8.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{- \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Étape 6.6.3.9

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Étape 6.6.3.10

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.6.3.10.1

Pour écrire $4 x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y (4 y^{2} + 4 x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{25 x}{2})}$

Étape 6.6.3.10.2

Associez $4 x^{2}$ et $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y (4 y^{2} + \frac{4 x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{25 x}{2})}$

Étape 6.6.3.10.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y (4 y^{2} + \frac{4 x^{2} \cdot 2 - 25 x}{2})}$

Étape 6.6.3.10.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.6.3.10.4.1

Factorisez $x$ à partir de $4 x^{2} \cdot 2 - 25 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.3.10.4.1.1

Factorisez $x$ à partir de $4 x^{2} \cdot 2$ .

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y (4 y^{2} + \frac{x (4 x \cdot 2) - 25 x}{2})}$

Étape 6.6.3.10.4.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 25 x$ .

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y (4 y^{2} + \frac{x (4 x \cdot 2) + x \cdot - 25}{2})}$

Étape 6.6.3.10.4.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x (4 x \cdot 2) + x \cdot - 25$ .

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y (4 y^{2} + \frac{x (4 x \cdot 2 - 25)}{2})}$

Étape 6.6.3.10.4.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y (4 y^{2} + \frac{x (8 x - 25)}{2})}$

Étape 6.6.3.10.5

Pour écrire $4 y^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y (4 y^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x (8 x - 25)}{2})}$

Étape 6.6.3.10.6

Associez $4 y^{2}$ et $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y (\frac{4 y^{2} \cdot 2}{2} + \frac{x (8 x - 25)}{2})}$

Étape 6.6.3.10.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y \frac{4 y^{2} \cdot 2 + x (8 x - 25)}{2}}$

Étape 6.6.3.10.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.6.3.10.8.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y \frac{8 y^{2} + x (8 x - 25)}{2}}$

Étape 6.6.3.10.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y \frac{8 y^{2} + x (8 x) + x \cdot - 25}{2}}$

Étape 6.6.3.10.8.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y \frac{8 y^{2} + 8 x \cdot x + x \cdot - 25}{2}}$

Étape 6.6.3.10.8.4

Déplacez $- 25$ à gauche de $x$ .

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y \frac{8 y^{2} + 8 x \cdot x - 25 \cdot x}{2}}$

Étape 6.6.3.10.8.5

Simplifiez chaque terme.

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y \frac{8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x}{2}}$

Étape 6.6.3.11

Associez $y$ et $\frac{8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x}{2}$ .

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{\frac{y (8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x)}{2}}$

Étape 6.6.3.12

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} (1 \frac{2}{y (8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x)})$

Étape 6.6.3.13

Multipliez $\frac{2}{y (8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x)}$ par $1$ .

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{2}{y (8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x)}$

Étape 6.6.3.14

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.6.3.14.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4}$ dans le numérateur.

$y' = \frac{- (16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2})}{4} \cdot \frac{2}{y (8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x)}$

Étape 6.6.3.14.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y' = \frac{- (16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2})}{2 (2)} \cdot \frac{2}{y (8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x)}$

Étape 6.6.3.14.3

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{- (16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2})}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2}{y (8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x)}$

Étape 6.6.3.14.4

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- (16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2})}{2} \cdot \frac{1}{y (8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x)}$

Étape 6.6.3.15

Multipliez $\frac{- (16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2})}{2}$ par $\frac{1}{y (8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x)}$ .

$y' = \frac{- (16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2})}{2 (y (8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x))}$

Étape 6.6.3.16

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{2 y (8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x)}$

Étape 7

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{2 y (8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x)}$