Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(5 t^{2} - 4 t)}^{2}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} ({(5 t^{2} - 4 t)}^{2})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $t$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{2}$ et $g (t) = 5 t^{2} - 4 t$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 t^{2} - 4 t$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [5 t^{2} - 4 t]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d t} [5 t^{2} - 4 t]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 t^{2} - 4 t$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [5 t^{2} - 4 t]$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 t^{2} - 4 t$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t]$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) (\frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t])$

Étape 3.2.2

Comme $5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $5 t^{2}$ par rapport à $t$ est $5 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) (5 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t])$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) (5 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 4 t])$

Étape 3.2.4

Multipliez $2$ par $5$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) (10 t + \frac{d}{d t} [- 4 t])$

Étape 3.2.5

Comme $- 4$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 4 t$ par rapport à $t$ est $- 4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) (10 t - 4 \frac{d}{d t} [t])$

Étape 3.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) (10 t - 4 \cdot 1)$

Étape 3.2.7

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) (10 t - 4)$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$(2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)) (10 t - 4)$

Étape 3.3.2

Associez des termes.

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $5$ par $2$ .

$(10 t^{2} + 2 (- 4 t)) (10 t - 4)$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$(10 t^{2} - 8 t) (10 t - 4)$

Étape 3.3.3

Réorganisez les facteurs de $(10 t^{2} - 8 t) (10 t - 4)$ .

$(10 t - 4) (10 t^{2} - 8 t)$

Étape 3.3.4

Développez $(10 t - 4) (10 t^{2} - 8 t)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$10 t (10 t^{2} - 8 t) - 4 (10 t^{2} - 8 t)$

Étape 3.3.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$10 t (10 t^{2}) + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2} - 8 t)$

Étape 3.3.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$10 t (10 t^{2}) + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Étape 3.3.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.5.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$10 \cdot 10 t \cdot t^{2} + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Étape 3.3.5.1.2

Multipliez $t$ par $t^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.5.1.2.1

Déplacez $t^{2}$ .

$10 \cdot 10 (t^{2} t) + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Étape 3.3.5.1.2.2

Multipliez $t^{2}$ par $t$ .

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Étape 3.3.5.1.2.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$10 \cdot 10 (t^{2} t^{1}) + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Étape 3.3.5.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$10 \cdot 10 t^{2 + 1} + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Étape 3.3.5.1.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$10 \cdot 10 t^{3} + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Étape 3.3.5.1.3

Multipliez $10$ par $10$ .

$100 t^{3} + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Étape 3.3.5.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$100 t^{3} + 10 \cdot - 8 t \cdot t - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Étape 3.3.5.1.5

Multipliez $t$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.5.1.5.1

Déplacez $t$ .

$100 t^{3} + 10 \cdot - 8 (t \cdot t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Étape 3.3.5.1.5.2

Multipliez $t$ par $t$ .

$100 t^{3} + 10 \cdot - 8 t^{2} - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Étape 3.3.5.1.6

Multipliez $10$ par $- 8$ .

$100 t^{3} - 80 t^{2} - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Étape 3.3.5.1.7

Multipliez $10$ par $- 4$ .

$100 t^{3} - 80 t^{2} - 40 t^{2} - 4 (- 8 t)$

Étape 3.3.5.1.8

Multipliez $- 8$ par $- 4$ .

$100 t^{3} - 80 t^{2} - 40 t^{2} + 32 t$

Étape 3.3.5.2

Soustrayez $40 t^{2}$ de $- 80 t^{2}$ .

$100 t^{3} - 120 t^{2} + 32 t$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 100 t^{3} - 120 t^{2} + 32 t$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = 100 t^{3} - 120 t^{2} + 32 t$