Calcul infinitésimal Exemples

$y = 5 + 4.9 \cos (\frac{π}{6} t)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (5 + 4.9 \cos (\frac{π}{6} t))$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $t$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez.

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Étape 3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 + 4.9 \cos (\frac{π}{6} t)$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [4.9 \cos (\frac{π}{6} t)]$ .

$\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [4.9 \cos (\frac{π}{6} t)]$

Étape 3.1.2

Comme $5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $5$ par rapport à $t$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [4.9 \cos (\frac{π}{6} t)]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d t} [4.9 \cos (\frac{π}{6} t)]$ .

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{π}{6}$ et $t$ .

$0 + \frac{d}{d t} [4.9 \cos (\frac{π t}{6})]$

Étape 3.2.2

Comme $4.9$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $4.9 \cos (\frac{π t}{6})$ par rapport à $t$ est $4.9 \frac{d}{d t} [\cos (\frac{π t}{6})]$ .

$0 + 4.9 \frac{d}{d t} [\cos (\frac{π t}{6})]$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \cos (t)$ et $g (t) = \frac{π t}{6}$ .

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Étape 3.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{π t}{6}$ .

$0 + 4.9 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d t} [\frac{π t}{6}])$

Étape 3.2.3.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$0 + 4.9 (- \sin (u) \frac{d}{d t} [\frac{π t}{6}])$

Étape 3.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{π t}{6}$ .

$0 + 4.9 (- \sin (\frac{π t}{6}) \frac{d}{d t} [\frac{π t}{6}])$

Étape 3.2.4

Comme $\frac{π}{6}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{π t}{6}$ par rapport à $t$ est $\frac{π}{6} \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 + 4.9 (- \sin (\frac{π t}{6}) (\frac{π}{6} \frac{d}{d t} [t]))$

Étape 3.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 4.9 (- \sin (\frac{π t}{6}) (\frac{π}{6} \cdot 1))$

Étape 3.2.6

Multipliez $\frac{π}{6}$ par $1$ .

$0 + 4.9 (- \sin (\frac{π t}{6}) \frac{π}{6})$

Étape 3.2.7

Associez $\frac{π}{6}$ et $\sin (\frac{π t}{6})$ .

$0 + 4.9 (- \frac{π \sin (\frac{π t}{6})}{6})$

Étape 3.2.8

Multipliez $- 1$ par $4.9$ .

$0 - 4.9 \frac{π \sin (\frac{π t}{6})}{6}$

Étape 3.2.9

Associez $- 4.9$ et $\frac{π \sin (\frac{π t}{6})}{6}$ .

$0 + \frac{- 4.9 (π \sin (\frac{π t}{6}))}{6}$

Étape 3.2.10

Multipliez $π$ par $- 4.9$ .

$0 + \frac{- 15.393804 \sin (\frac{π t}{6})}{6}$

Étape 3.2.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$0 - \frac{15.393804 \sin (\frac{π t}{6})}{6}$

Étape 3.3

Soustrayez $\frac{15.393804 \sin (\frac{π t}{6})}{6}$ de $0$ .

$- \frac{15.393804 \sin (\frac{π t}{6})}{6}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - \frac{15.393804 \sin (\frac{π t}{6})}{6}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{15.393804 \sin (\frac{π t}{6})}{6}$