Calcul infinitésimal Exemples

$y = t \sin (π t) + \frac{1}{π} \cdot \cos (π t) - \frac{1}{π}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (t \sin (π t) + \frac{1}{π} \cdot \cos (π t) - \frac{1}{π})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $t$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t \sin (π t) + \frac{1}{π} \cdot \cos (π t) - \frac{1}{π}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t \sin (π t)] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$ .

$\frac{d}{d t} [t \sin (π t)] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d t} [t \sin (π t)]$ .

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Étape 3.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = t$ et $g (t) = \sin (π t)$ .

$t \frac{d}{d t} [\sin (π t)] + \sin (π t) \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \sin (t)$ et $g (t) = π t$ .

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Étape 3.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $π t$ .

$t (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d t} [π t]) + \sin (π t) \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Étape 3.2.2.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$t (\cos (u_{1}) \frac{d}{d t} [π t]) + \sin (π t) \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Étape 3.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $π t$ .

$t (\cos (π t) \frac{d}{d t} [π t]) + \sin (π t) \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Étape 3.2.3

Comme $π$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $π t$ par rapport à $t$ est $π \frac{d}{d t} [t]$ .

$t (\cos (π t) (π \frac{d}{d t} [t])) + \sin (π t) \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Étape 3.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$t (\cos (π t) (π \cdot 1)) + \sin (π t) \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Étape 3.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$t (\cos (π t) (π \cdot 1)) + \sin (π t) \cdot 1 + \frac{d}{d t} [\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Étape 3.2.6

Multipliez $π$ par $1$ .

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) \cdot 1 + \frac{d}{d t} [\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Étape 3.2.7

Multipliez $\sin (π t)$ par $1$ .

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d t} [\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $\frac{1}{π}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{π} \frac{d}{d t} [\cos (π t)]$ .

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) + \frac{1}{π} \frac{d}{d t} [\cos (π t)] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \cos (t)$ et $g (t) = π t$ .

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Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $π t$ .

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) + \frac{1}{π} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d t} [π t]) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Étape 3.3.2.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) + \frac{1}{π} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d t} [π t]) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $π t$ .

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) + \frac{1}{π} (- \sin (π t) \frac{d}{d t} [π t]) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Étape 3.3.3

Comme $π$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $π t$ par rapport à $t$ est $π \frac{d}{d t} [t]$ .

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) + \frac{1}{π} (- \sin (π t) (π \frac{d}{d t} [t])) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) + \frac{1}{π} (- \sin (π t) (π \cdot 1)) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Étape 3.3.5

Multipliez $π$ par $1$ .

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) + \frac{1}{π} (- \sin (π t) π) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Étape 3.3.6

Associez $\frac{1}{π}$ et $\sin (π t)$ .

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) - \frac{\sin (π t)}{π} π + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Étape 3.3.7

Associez $π$ et $\frac{\sin (π t)}{π}$ .

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) - \frac{π \sin (π t)}{π} + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Étape 3.3.8

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 3.3.8.1

Annulez le facteur commun.

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) - \frac{π \sin (π t)}{π} + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Étape 3.3.8.2

Divisez $\sin (π t)$ par $1$ .

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) - \sin (π t) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

Étape 3.4

Comme $- \frac{1}{π}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- \frac{1}{π}$ par rapport à $t$ est $0$ .

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) - \sin (π t) + 0$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Associez des termes.

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Étape 3.5.1.1

Soustrayez $\sin (π t)$ de $\sin (π t)$ .

$t (\cos (π t) π) + 0 + 0$

Étape 3.5.1.2

Additionnez $t (\cos (π t) π)$ et $0$ .

$t (\cos (π t) π) + 0$

Étape 3.5.1.3

Additionnez $t (\cos (π t) π)$ et $0$ .

$t (\cos (π t) π)$

Étape 3.5.2

Réorganisez les facteurs de $t (\cos (π t) π)$ .

$π t \cos (π t)$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = π t \cos (π t)$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = π t \cos (π t)$