Calcul infinitésimal Exemples

$y = \cos (\sqrt{4 t + 11})$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{4 t + 11}$ comme ${(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \cos ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (\cos ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}))$

Étape 3

La dérivée de $y$ par rapport à $t$ est $y'$ .

$y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \cos (t)$ et $g (t) = {(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme ${(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [{(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.1.2

La dérivée de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [{(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par ${(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [{(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ et $g (t) = 4 t + 11$ .

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Étape 4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $4 t + 11$ .

$- \sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [4 t + 11])$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$- \sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [4 t + 11])$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $4 t + 11$ .

$- \sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(4 t + 11)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [4 t + 11])$

Étape 4.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(4 t + 11)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [4 t + 11])$

Étape 4.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(4 t + 11)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [4 t + 11])$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(4 t + 11)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [4 t + 11])$

Étape 4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(4 t + 11)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [4 t + 11])$

Étape 4.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$- \sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(4 t + 11)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [4 t + 11])$

Étape 4.7

Associez les fractions.

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Étape 4.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(4 t + 11)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [4 t + 11])$

Étape 4.7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(4 t + 11)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{{(4 t + 11)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [4 t + 11])$

Étape 4.7.3

Placez ${(4 t + 11)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2 {(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [4 t + 11])$

Étape 4.7.4

Associez $\frac{1}{2 {(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}}$ et $\sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}})$ .

$- \frac{\sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [4 t + 11]$

Étape 4.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 t + 11$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [11]$ .

$- \frac{\sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [11])$

Étape 4.9

Comme $4$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $4 t$ par rapport à $t$ est $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{\sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}} (4 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [11])$

Étape 4.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{\sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [11])$

Étape 4.11

Multipliez $4$ par $1$ .

$- \frac{\sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}} (4 + \frac{d}{d t} [11])$

Étape 4.12

Comme $11$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $11$ par rapport à $t$ est $0$ .

$- \frac{\sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}} (4 + 0)$

Étape 4.13

Simplifiez les termes.

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Étape 4.13.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$- \frac{\sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 4$

Étape 4.13.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 4 \frac{\sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.13.3

Associez $- 4$ et $\frac{\sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 4 \sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.13.4

Factorisez $2$ à partir de $- 4 \sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 (- 2 \sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.14

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.14.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- 2 \sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}))}{2 ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 4.14.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 2 \sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.14.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2 \sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{{(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 \sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{{(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - \frac{2 \sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{{(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{2 \sin ({(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{{(4 t + 11)}^{\frac{1}{2}}}$