Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{2} + x} - x$

Étape 1

Multipliez pour rationaliser le numérateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^{2} + x} - x) (\sqrt{x^{2} + x} + x)}{\sqrt{x^{2} + x} + x}$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Développez le numérateur à l’aide de la méthode FOIL.

$lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{x^{2} + x}}^{2} + \sqrt{x^{2} + x} x + \sqrt{x^{2} + x} (- x) - x^{2}}{\sqrt{x^{2} + x} + x}$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x + 0}{\sqrt{x^{2} + x} + x}$

Étape 2.2.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + x} + x}$

Étape 3

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + x$ .

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Étape 3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x \cdot x + x} + x}$

Étape 3.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x \cdot x + x^{1}} + x}$

Étape 3.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x \cdot x + x \cdot 1} + x}$

Étape 3.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x (x + 1)} + x}$

Étape 4

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

Étape 5

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

Étape 5.1.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}} + 1}$

Étape 6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}} + 1}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}} + 1}$

Étape 6.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x + 1}{x}} + 1}$

Étape 7

Évaluez la limite.

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Étape 7.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}} + 1}$

Étape 7.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}} + 1}$

Étape 7.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 7.4

Placez la limite sous le radical.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1}{x}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 8

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 9

Évaluez la limite.

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Étape 9.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 9.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 9.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 9.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 9.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 9.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 9.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 10

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + 0}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 11

Évaluez la limite.

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Étape 11.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + 0}{1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 11.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + 0}{1}} + 1}$

Étape 11.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 11.3.1

Divisez $1 + 0$ par $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + 0} + 1}$

Étape 11.3.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.3.2.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1} + 1}$

Étape 11.3.2.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{1}{1 + 1}$

Étape 11.3.2.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{2}$

Forme décimale :

$0.5$