Calcul infinitésimal Exemples

$z = \frac{4 - 3 x}{3 x^{2} + x}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d z} (z) = \frac{d}{d z} (\frac{4 - 3 x}{3 x^{2} + x})$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ est $n z^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{2} + x$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{2}$ .

$\frac{d}{d z} [\frac{4 - 3 x}{x (3 x) + x}]$

Étape 3.1.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d z} [\frac{4 - 3 x}{x (3 x) + x^{1}}]$

Étape 3.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{d}{d z} [\frac{4 - 3 x}{x (3 x) + x \cdot 1}]$

Étape 3.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x (3 x) + x \cdot 1$ .

$\frac{d}{d z} [\frac{4 - 3 x}{x (3 x + 1)}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ est $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ où $f (z) = 4 - 3 x$ et $g (z) = x (3 x + 1)$ .

$\frac{x (3 x + 1) \frac{d}{d z} [4 - 3 x] - (4 - 3 x) \frac{d}{d z} [x (3 x + 1)]}{{(x (3 x + 1))}^{2}}$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - 3 x$ par rapport à $z$ est $\frac{d}{d z} [4] + \frac{d}{d z} [- 3 x]$ .

$\frac{x (3 x + 1) (\frac{d}{d z} [4] + \frac{d}{d z} [- 3 x]) - (4 - 3 x) \frac{d}{d z} [x (3 x + 1)]}{{(x (3 x + 1))}^{2}}$

Étape 3.3.2

Comme $4$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $4$ par rapport à $z$ est $0$ .

$\frac{x (3 x + 1) (0 + \frac{d}{d z} [- 3 x]) - (4 - 3 x) \frac{d}{d z} [x (3 x + 1)]}{{(x (3 x + 1))}^{2}}$

Étape 3.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d z} [- 3 x]$ .

$\frac{x (3 x + 1) \frac{d}{d z} [- 3 x] - (4 - 3 x) \frac{d}{d z} [x (3 x + 1)]}{{(x (3 x + 1))}^{2}}$

Étape 3.3.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $z$ est $- 3 \frac{d}{d z} [x]$ .

$\frac{x (3 x + 1) (- 3 \frac{d}{d z} [x]) - (4 - 3 x) \frac{d}{d z} [x (3 x + 1)]}{{(x (3 x + 1))}^{2}}$

Étape 3.4

Réécrivez $\frac{d}{d z} [x]$ comme $x'$ .

$\frac{x (3 x + 1) (- 3 x') - (4 - 3 x) \frac{d}{d z} [x (3 x + 1)]}{{(x (3 x + 1))}^{2}}$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ est $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ où $f (z) = x$ et $g (z) = 3 x + 1$ .

$\frac{x (3 x + 1) (- 3 x') - (4 - 3 x) (x \frac{d}{d z} [3 x + 1] + (3 x + 1) \frac{d}{d z} [x])}{{(x (3 x + 1))}^{2}}$

Étape 3.6

Différenciez.

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Étape 3.6.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 1$ par rapport à $z$ est $\frac{d}{d z} [3 x] + \frac{d}{d z} [1]$ .

$\frac{x (3 x + 1) (- 3 x') - (4 - 3 x) (x (\frac{d}{d z} [3 x] + \frac{d}{d z} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d z} [x])}{{(x (3 x + 1))}^{2}}$

Étape 3.6.2

Comme $3$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $z$ est $3 \frac{d}{d z} [x]$ .

$\frac{x (3 x + 1) (- 3 x') - (4 - 3 x) (x (3 \frac{d}{d z} [x] + \frac{d}{d z} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d z} [x])}{{(x (3 x + 1))}^{2}}$

Étape 3.7

Réécrivez $\frac{d}{d z} [x]$ comme $x'$ .

$\frac{x (3 x + 1) (- 3 x') - (4 - 3 x) (x (3 x' + \frac{d}{d z} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d z} [x])}{{(x (3 x + 1))}^{2}}$

Étape 3.8

Comme $1$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $1$ par rapport à $z$ est $0$ .

$\frac{x (3 x + 1) (- 3 x') - (4 - 3 x) (x (3 x' + 0) + (3 x + 1) \frac{d}{d z} [x])}{{(x (3 x + 1))}^{2}}$

Étape 3.9

Additionnez $3 x'$ et $0$ .

$\frac{x (3 x + 1) (- 3 x') - (4 - 3 x) (x (3 x') + (3 x + 1) \frac{d}{d z} [x])}{{(x (3 x + 1))}^{2}}$

Étape 3.10

Réécrivez $\frac{d}{d z} [x]$ comme $x'$ .

$\frac{x (3 x + 1) (- 3 x') - (4 - 3 x) (x (3 x') + (3 x + 1) x')}{{(x (3 x + 1))}^{2}}$

Étape 3.11

Simplifiez

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Étape 3.11.1

Appliquez la règle de produit à $x (3 x + 1)$ .

$\frac{x (3 x + 1) (- 3 x') - (4 - 3 x) (x (3 x') + (3 x + 1) x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.11.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x (3 x) + x \cdot 1) (- 3 x') - (4 - 3 x) (x (3 x') + (3 x + 1) x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.11.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (3 x) (- 3 x') + x \cdot 1 (- 3 x') - (4 - 3 x) (x (3 x') + (3 x + 1) x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.11.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (3 x) (- 3 x') + x \cdot 1 (- 3 x') + (- 1 \cdot 4 - (- 3 x)) (x (3 x') + (3 x + 1) x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.11.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (3 x) (- 3 x') + x \cdot 1 (- 3 x') + (- 1 \cdot 4 - (- 3 x)) (x (3 x') + 3 x x' + 1 x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.11.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.11.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.11.6.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.11.6.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x \cdot x \cdot 3 (- 3 x') + x \cdot 1 (- 3 x') + (- 1 \cdot 4 - (- 3 x)) (x (3 x') + 3 x x' + 1 x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.11.6.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3 (- 3 x') + x \cdot 1 (- 3 x') + (- 1 \cdot 4 - (- 3 x)) (x (3 x') + 3 x x' + 1 x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.11.6.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{3 \cdot x^{2} (- 3 x') + x \cdot 1 (- 3 x') + (- 1 \cdot 4 - (- 3 x)) (x (3 x') + 3 x x' + 1 x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.11.6.1.3

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$\frac{- 9 x^{2} x' + x \cdot 1 (- 3 x') + (- 1 \cdot 4 - (- 3 x)) (x (3 x') + 3 x x' + 1 x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.11.6.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- 9 x^{2} x' - 3 x x' + (- 1 \cdot 4 - (- 3 x)) (x (3 x') + 3 x x' + 1 x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.11.6.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.11.6.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{- 9 x^{2} x' - 3 x x' + (- 4 - (- 3 x)) (x (3 x') + 3 x x' + 1 x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.11.6.1.5.2

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$\frac{- 9 x^{2} x' - 3 x x' + (- 4 + 3 x) (x (3 x') + 3 x x' + 1 x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.11.6.1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.11.6.1.6.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- 9 x^{2} x' - 3 x x' + (- 4 + 3 x) (3 x x' + 3 x x' + 1 x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.11.6.1.6.2

Multipliez $x'$ par $1$ .

$\frac{- 9 x^{2} x' - 3 x x' + (- 4 + 3 x) (3 x x' + 3 x x' + x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.11.6.1.7

Additionnez $3 x x'$ et $3 x x'$ .

$\frac{- 9 x^{2} x' - 3 x x' + (- 4 + 3 x) (6 x x' + x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.11.6.1.8

Développez $(- 4 + 3 x) (6 x x' + x')$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.11.6.1.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 9 x^{2} x' - 3 x x' - 4 (6 x x' + x') + 3 x (6 x x' + x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.11.6.1.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 9 x^{2} x' - 3 x x' - 4 (6 x x') - 4 x' + 3 x (6 x x' + x')}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.11.6.1.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 9 x^{2} x' - 3 x x' - 4 (6 x x') - 4 x' + 3 x (6 x x') + 3 x x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.11.6.1.9

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.11.6.1.9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.11.6.1.9.1.1

Multipliez $6$ par $- 4$ .

$\frac{- 9 x^{2} x' - 3 x x' - 24 (x x') - 4 x' + 3 x (6 x x') + 3 x x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.11.6.1.9.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.11.6.1.9.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{- 9 x^{2} x' - 3 x x' - 24 x x' - 4 x' + 3 (x \cdot x) (6 x') + 3 x x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.11.6.1.9.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{- 9 x^{2} x' - 3 x x' - 24 x x' - 4 x' + 3 x^{2} (6 x') + 3 x x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.11.6.1.9.1.3

Multipliez $6$ par $3$ .

$\frac{- 9 x^{2} x' - 3 x x' - 24 x x' - 4 x' + 18 x^{2} x' + 3 x x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.11.6.1.9.2

Additionnez $- 24 x x'$ et $3 x x'$ .

$\frac{- 9 x^{2} x' - 3 x x' - 21 x x' - 4 x' + 18 x^{2} x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.11.6.2

Additionnez $- 9 x^{2} x'$ et $18 x^{2} x'$ .

$\frac{9 x^{2} x' - 3 x x' - 21 x x' - 4 x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.11.6.3

Soustrayez $21 x x'$ de $- 3 x x'$ .

$\frac{9 x^{2} x' - 24 x x' - 4 x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.11.7

Factorisez $x'$ à partir de $9 x^{2} x' - 24 x x' - 4 x'$ .

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Étape 3.11.7.1

Factorisez $x'$ à partir de $9 x^{2} x'$ .

$\frac{x' (9 x^{2}) - 24 x x' - 4 x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.11.7.2

Factorisez $x'$ à partir de $- 24 x x'$ .

$\frac{x' (9 x^{2}) + x' (- 24 x) - 4 x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.11.7.3

Factorisez $x'$ à partir de $- 4 x'$ .

$\frac{x' (9 x^{2}) + x' (- 24 x) + x' \cdot - 4}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.11.7.4

Factorisez $x'$ à partir de $x' (9 x^{2}) + x' (- 24 x)$ .

$\frac{x' (9 x^{2} - 24 x) + x' \cdot - 4}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.11.7.5

Factorisez $x'$ à partir de $x' (9 x^{2} - 24 x) + x' \cdot - 4$ .

$\frac{x' (9 x^{2} - 24 x - 4)}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.11.8

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{x' (9 x^{2} - 24 x - 4)}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{(9 x^{2} - 24 x - 4) x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 = \frac{(9 x^{2} - 24 x - 4) x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{(9 x^{2} - 24 x - 4) x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}} = 1$ .

$\frac{(9 x^{2} - 24 x - 4) x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}} = 1$

Étape 5.2

Multipliez les deux côtés par $x^{2} {(3 x + 1)}^{2}$ .

$\frac{(9 x^{2} - 24 x - 4) x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}} (x^{2} {(3 x + 1)}^{2}) = 1 (x^{2} {(3 x + 1)}^{2})$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.1.1

Simplifiez $\frac{(9 x^{2} - 24 x - 4) x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}} (x^{2} {(3 x + 1)}^{2})$ .

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Étape 5.3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{2} {(3 x + 1)}^{2}$ .

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Étape 5.3.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(9 x^{2} - 24 x - 4) x'}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}} (x^{2} {(3 x + 1)}^{2}) = 1 (x^{2} {(3 x + 1)}^{2})$

Étape 5.3.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$(9 x^{2} - 24 x - 4) x' = 1 (x^{2} {(3 x + 1)}^{2})$

Étape 5.3.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$9 x^{2} x' - 24 x x' - 4 x' = 1 (x^{2} {(3 x + 1)}^{2})$

Étape 5.3.1.1.3

Remettez dans l’ordre.

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Étape 5.3.1.1.3.1

Déplacez $x^{2}$ .

$9 x' x^{2} - 24 x x' - 4 x' = 1 (x^{2} {(3 x + 1)}^{2})$

Étape 5.3.1.1.3.2

Déplacez $x$ .

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = 1 (x^{2} {(3 x + 1)}^{2})$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.1

Multipliez $x^{2} {(3 x + 1)}^{2}$ par $1$ .

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = x^{2} {(3 x + 1)}^{2}$

Étape 5.4

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.4.1

Simplifiez $x^{2} {(3 x + 1)}^{2}$ .

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Étape 5.4.1.1

Réécrivez ${(3 x + 1)}^{2}$ comme $(3 x + 1) (3 x + 1)$ .

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = x^{2} ((3 x + 1) (3 x + 1))$

Étape 5.4.1.2

Développez $(3 x + 1) (3 x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.4.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = x^{2} (3 x (3 x + 1) + 1 (3 x + 1))$

Étape 5.4.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = x^{2} (3 x (3 x) + 3 x \cdot 1 + 1 (3 x + 1))$

Étape 5.4.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = x^{2} (3 x (3 x) + 3 x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1)$

Étape 5.4.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.4.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = x^{2} (3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1)$

Étape 5.4.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.4.1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = x^{2} (3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1)$

Étape 5.4.1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = x^{2} (3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1)$

Étape 5.4.1.3.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = x^{2} (9 x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1)$

Étape 5.4.1.3.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = x^{2} (9 x^{2} + 3 x + 1 (3 x) + 1 \cdot 1)$

Étape 5.4.1.3.1.5

Multipliez $3 x$ par $1$ .

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = x^{2} (9 x^{2} + 3 x + 3 x + 1 \cdot 1)$

Étape 5.4.1.3.1.6

Multipliez $1$ par $1$ .

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = x^{2} (9 x^{2} + 3 x + 3 x + 1)$

Étape 5.4.1.3.2

Additionnez $3 x$ et $3 x$ .

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = x^{2} (9 x^{2} + 6 x + 1)$

Étape 5.4.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot 1$

Étape 5.4.1.5

Simplifiez

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Étape 5.4.1.5.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = 9 x^{2} x^{2} + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot 1$

Étape 5.4.1.5.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = 9 x^{2} x^{2} + 6 x^{2} x + x^{2} \cdot 1$

Étape 5.4.1.5.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = 9 x^{2} x^{2} + 6 x^{2} x + x^{2}$

Étape 5.4.1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1.6.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.4.1.6.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = 9 (x^{2} x^{2}) + 6 x^{2} x + x^{2}$

Étape 5.4.1.6.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = 9 x^{2 + 2} + 6 x^{2} x + x^{2}$

Étape 5.4.1.6.1.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = 9 x^{4} + 6 x^{2} x + x^{2}$

Étape 5.4.1.6.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.4.1.6.2.1

Déplacez $x$ .

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = 9 x^{4} + 6 (x \cdot x^{2}) + x^{2}$

Étape 5.4.1.6.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 5.4.1.6.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = 9 x^{4} + 6 (x^{1} x^{2}) + x^{2}$

Étape 5.4.1.6.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = 9 x^{4} + 6 x^{1 + 2} + x^{2}$

Étape 5.4.1.6.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x' = 9 x^{4} + 6 x^{3} + x^{2}$

Étape 5.4.2

Factorisez $x'$ à partir de $9 x' x^{2} - 24 x' x - 4 x'$ .

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Étape 5.4.2.1

Factorisez $x'$ à partir de $9 x' x^{2}$ .

$x' (9 x^{2}) - 24 x' x - 4 x' = 9 x^{4} + 6 x^{3} + x^{2}$

Étape 5.4.2.2

Factorisez $x'$ à partir de $- 24 x' x$ .

$x' (9 x^{2}) + x' (- 24 x) - 4 x' = 9 x^{4} + 6 x^{3} + x^{2}$

Étape 5.4.2.3

Factorisez $x'$ à partir de $- 4 x'$ .

$x' (9 x^{2}) + x' (- 24 x) + x' \cdot - 4 = 9 x^{4} + 6 x^{3} + x^{2}$

Étape 5.4.2.4

Factorisez $x'$ à partir de $x' (9 x^{2}) + x' (- 24 x)$ .

$x' (9 x^{2} - 24 x) + x' \cdot - 4 = 9 x^{4} + 6 x^{3} + x^{2}$

Étape 5.4.2.5

Factorisez $x'$ à partir de $x' (9 x^{2} - 24 x) + x' \cdot - 4$ .

$x' (9 x^{2} - 24 x - 4) = 9 x^{4} + 6 x^{3} + x^{2}$

Étape 5.4.3

Divisez chaque terme dans $x' (9 x^{2} - 24 x - 4) = 9 x^{4} + 6 x^{3} + x^{2}$ par $9 x^{2} - 24 x - 4$ et simplifiez.

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Étape 5.4.3.1

Divisez chaque terme dans $x' (9 x^{2} - 24 x - 4) = 9 x^{4} + 6 x^{3} + x^{2}$ par $9 x^{2} - 24 x - 4$ .

$\frac{x' (9 x^{2} - 24 x - 4)}{9 x^{2} - 24 x - 4} = \frac{9 x^{4}}{9 x^{2} - 24 x - 4} + \frac{6 x^{3}}{9 x^{2} - 24 x - 4} + \frac{x^{2}}{9 x^{2} - 24 x - 4}$

Étape 5.4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $9 x^{2} - 24 x - 4$ .

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Étape 5.4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x' (9 x^{2} - 24 x - 4)}{9 x^{2} - 24 x - 4} = \frac{9 x^{4}}{9 x^{2} - 24 x - 4} + \frac{6 x^{3}}{9 x^{2} - 24 x - 4} + \frac{x^{2}}{9 x^{2} - 24 x - 4}$

Étape 5.4.3.2.1.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{9 x^{4}}{9 x^{2} - 24 x - 4} + \frac{6 x^{3}}{9 x^{2} - 24 x - 4} + \frac{x^{2}}{9 x^{2} - 24 x - 4}$

Étape 5.4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x' = \frac{9 x^{4} + 6 x^{3} + x^{2}}{9 x^{2} - 24 x - 4}$

Étape 5.4.3.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.3.3.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $9 x^{4} + 6 x^{3} + x^{2}$ .

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Étape 5.4.3.3.2.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $9 x^{4}$ .

$x' = \frac{x^{2} (9 x^{2}) + 6 x^{3} + x^{2}}{9 x^{2} - 24 x - 4}$

Étape 5.4.3.3.2.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $6 x^{3}$ .

$x' = \frac{x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (6 x) + x^{2}}{9 x^{2} - 24 x - 4}$

Étape 5.4.3.3.2.1.3

Multipliez par $1$ .

$x' = \frac{x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot 1}{9 x^{2} - 24 x - 4}$

Étape 5.4.3.3.2.1.4

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (6 x)$ .

$x' = \frac{x^{2} (9 x^{2} + 6 x) + x^{2} \cdot 1}{9 x^{2} - 24 x - 4}$

Étape 5.4.3.3.2.1.5

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (9 x^{2} + 6 x) + x^{2} \cdot 1$ .

$x' = \frac{x^{2} (9 x^{2} + 6 x + 1)}{9 x^{2} - 24 x - 4}$

Étape 5.4.3.3.2.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 5.4.3.3.2.2.1

Réécrivez $9 x^{2}$ comme ${(3 x)}^{2}$ .

$x' = \frac{x^{2} ({(3 x)}^{2} + 6 x + 1)}{9 x^{2} - 24 x - 4}$

Étape 5.4.3.3.2.2.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x' = \frac{x^{2} ({(3 x)}^{2} + 6 x + 1^{2})}{9 x^{2} - 24 x - 4}$

Étape 5.4.3.3.2.2.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$6 x = 2 \cdot (3 x) \cdot 1$

Étape 5.4.3.3.2.2.4

Réécrivez le polynôme.

$x' = \frac{x^{2} ({(3 x)}^{2} + 2 \cdot (3 x) \cdot 1 + 1^{2})}{9 x^{2} - 24 x - 4}$

Étape 5.4.3.3.2.2.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = 3 x$ et $b = 1$ .

$x' = \frac{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}{9 x^{2} - 24 x - 4}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d z}$ .

$\frac{d x}{d z} = \frac{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}{9 x^{2} - 24 x - 4}$