Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{765}{\sqrt[3]{x}}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{765}{x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{765}{x^{\frac{1}{3}}})$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Comme $765$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{765}{x^{\frac{1}{3}}}$ par rapport à $y$ est $765 \frac{d}{d y} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$765 \frac{d}{d y} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ est $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ où $f (y) = 1$ et $g (y) = x^{\frac{1}{3}}$ .

$765 \frac{x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d y} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{3}}]}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$765 \frac{x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{3}}]}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Étape 4.3.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

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Étape 4.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$765 \frac{x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{3}}]}{x^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

Étape 4.3.2.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $2$ .

$765 \frac{x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{3}}]}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$765 \frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 0 - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{3}}]}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.4.1

Multipliez $x^{\frac{1}{3}}$ par $0$ .

$765 \frac{0 - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{3}}]}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.3.4.2

Soustrayez $\frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{3}}]$ de $0$ .

$765 \frac{- \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{3}}]}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.3.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$765 (- \frac{\frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{3}}]}{x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 4.3.4.4

Multipliez $- 1$ par $765$ .

$- 765 \frac{\frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{3}}]}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{\frac{1}{3}}$ et $g (y) = x$ .

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Étape 4.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x$ .

$- 765 \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d y} [x]}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$- 765 \frac{\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d y} [x]}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$- 765 \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d y} [x]}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- 765 \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d y} [x]}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.6

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$- 765 \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d y} [x]}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 765 \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d y} [x]}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.8.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 765 \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d y} [x]}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.8.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$- 765 \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d y} [x]}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 765 \frac{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d y} [x]}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.10

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$- 765 \frac{\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d y} [x]}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.11

Placez $x^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 765 \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d y} [x]}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.12

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$- 765 \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} x'}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.13

Associez $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ et $x'$ .

$- 765 \frac{\frac{x'}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.14

Réécrivez $\frac{\frac{x'}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{x^{\frac{2}{3}}}$ comme un produit.

$- 765 (\frac{x'}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 4.15

Multipliez $\frac{x'}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ par $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$- 765 \frac{x'}{3 x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.16

Multipliez $x^{\frac{2}{3}}$ par $x^{\frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.16.1

Déplacez $x^{\frac{2}{3}}$ .

$- 765 \frac{x'}{3 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}})}$

Étape 4.16.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 765 \frac{x'}{3 x^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Étape 4.16.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 765 \frac{x'}{3 x^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Étape 4.16.4

Additionnez $2$ et $2$ .

$- 765 \frac{x'}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 4.17

Associez $- 765$ et $\frac{x'}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{- 765 x'}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 4.18

Factorisez $3$ à partir de $- 765 x'$ .

$\frac{3 (- 255 x')}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 4.19

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.19.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3 (- 255 x')}{3 (x^{\frac{4}{3}})}$

Étape 4.19.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (- 255 x')}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 4.19.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 255 x'}{x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 4.20

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{255 x'}{x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 = - \frac{255 x'}{x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 6

Résolvez $x'$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{255 x'}{x^{\frac{4}{3}}} = 1$ .

$- \frac{255 x'}{x^{\frac{4}{3}}} = 1$

Étape 6.2

Divisez chaque terme dans $- \frac{255 x'}{x^{\frac{4}{3}}} = 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.2.1

Divisez chaque terme dans $- \frac{255 x'}{x^{\frac{4}{3}}} = 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \frac{255 x'}{x^{\frac{4}{3}}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\frac{255 x'}{x^{\frac{4}{3}}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Étape 6.2.2.2

Divisez $\frac{255 x'}{x^{\frac{4}{3}}}$ par $1$ .

$\frac{255 x'}{x^{\frac{4}{3}}} = \frac{1}{- 1}$

Étape 6.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.3.1

Divisez $1$ par $- 1$ .

$\frac{255 x'}{x^{\frac{4}{3}}} = - 1$

Étape 6.3

Multipliez les deux côtés par $x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{255 x'}{x^{\frac{4}{3}}} x^{\frac{4}{3}} = - x^{\frac{4}{3}}$

Étape 6.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.4.1

Annulez le facteur commun de $x^{\frac{4}{3}}$ .

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Étape 6.4.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{255 x'}{x^{\frac{4}{3}}} x^{\frac{4}{3}} = - x^{\frac{4}{3}}$

Étape 6.4.1.2

Réécrivez l’expression.

$255 x' = - x^{\frac{4}{3}}$

Étape 6.5

Divisez chaque terme dans $255 x' = - x^{\frac{4}{3}}$ par $255$ et simplifiez.

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Étape 6.5.1

Divisez chaque terme dans $255 x' = - x^{\frac{4}{3}}$ par $255$ .

$\frac{255 x'}{255} = \frac{- x^{\frac{4}{3}}}{255}$

Étape 6.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.5.2.1

Annulez le facteur commun de $255$ .

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Étape 6.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{255 x'}{255} = \frac{- x^{\frac{4}{3}}}{255}$

Étape 6.5.2.1.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{- x^{\frac{4}{3}}}{255}$

Étape 6.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.5.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x' = - \frac{x^{\frac{4}{3}}}{255}$

Étape 7

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x^{\frac{4}{3}}}{255}$