Calcul infinitésimal Exemples

$y = e^{2 \ln (x)}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (e^{2 \ln (x)})$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Simplifiez $2 \ln (x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\frac{d}{d y} [e^{\ln (x^{2})}]$

Étape 3.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$\frac{d}{d y} [x^{2}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{2}$ et $g (y) = x$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d y} [x]$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$2 x \frac{d}{d y} [x]$

Étape 3.4

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$2 x x'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 = 2 x x'$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $2 x x' = 1$ .

$2 x x' = 1$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $2 x x' = 1$ par $2 x$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x x' = 1$ par $2 x$ .

$\frac{2 x x'}{2 x} = \frac{1}{2 x}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x x'}{2 x} = \frac{1}{2 x}$

Étape 5.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x x'}{x} = \frac{1}{2 x}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x x'}{x} = \frac{1}{2 x}$

Étape 5.2.2.2.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{1}{2 x}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 x}$