Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{2 x - 4 y}{4 x - 2 y}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2 x - 4 y}{4 x - 2 y})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun à $2 x - 4 y$ et $4 x - 2 y$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (x) - 4 y}{4 x - 2 y}]$

Étape 3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4 y$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (x) + 2 (- 2 y)}{4 x - 2 y}]$

Étape 3.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x) + 2 (- 2 y)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (x - 2 y)}{4 x - 2 y}]$

Étape 3.1.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (x - 2 y)}{2 (2 x) - 2 y}]$

Étape 3.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 y$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (x - 2 y)}{2 (2 x) + 2 (- y)}]$

Étape 3.1.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x) + 2 (- y)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (x - 2 y)}{2 (2 x - y)}]$

Étape 3.1.4.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (x - 2 y)}{2 (2 x - y)}]$

Étape 3.1.4.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{d}{d x} [\frac{x - 2 y}{2 x - y}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x - 2 y$ et $g (x) = 2 x - y$ .

$\frac{(2 x - y) \frac{d}{d x} [x - 2 y] - (x - 2 y) \frac{d}{d x} [2 x - y]}{{(2 x - y)}^{2}}$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$ .

$\frac{(2 x - y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]) - (x - 2 y) \frac{d}{d x} [2 x - y]}{{(2 x - y)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(2 x - y) (1 + \frac{d}{d x} [- 2 y]) - (x - 2 y) \frac{d}{d x} [2 x - y]}{{(2 x - y)}^{2}}$

Étape 3.3.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 y$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{(2 x - y) (1 - 2 \frac{d}{d x} [y]) - (x - 2 y) \frac{d}{d x} [2 x - y]}{{(2 x - y)}^{2}}$

Étape 3.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{(2 x - y) (1 - 2 y') - (x - 2 y) \frac{d}{d x} [2 x - y]}{{(2 x - y)}^{2}}$

Étape 3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{(2 x - y) (1 - 2 y') - (x - 2 y) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- y])}{{(2 x - y)}^{2}}$

Étape 3.6

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x - y) (1 - 2 y') - (x - 2 y) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])}{{(2 x - y)}^{2}}$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(2 x - y) (1 - 2 y') - (x - 2 y) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y])}{{(2 x - y)}^{2}}$

Étape 3.8

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{(2 x - y) (1 - 2 y') - (x - 2 y) (2 + \frac{d}{d x} [- y])}{{(2 x - y)}^{2}}$

Étape 3.9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{(2 x - y) (1 - 2 y') - (x - 2 y) (2 - \frac{d}{d x} [y])}{{(2 x - y)}^{2}}$

Étape 3.10

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{(2 x - y) (1 - 2 y') - (x - 2 y) (2 - y')}{{(2 x - y)}^{2}}$

Étape 3.11

Simplifiez

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Étape 3.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x - y) (1 - 2 y') + (- x - (- 2 y)) (2 - y')}{{(2 x - y)}^{2}}$

Étape 3.11.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.11.2.1.1

Développez $(2 x - y) (1 - 2 y')$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.11.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x (1 - 2 y') - y (1 - 2 y') + (- x - (- 2 y)) (2 - y')}{{(2 x - y)}^{2}}$

Étape 3.11.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 y') - y (1 - 2 y') + (- x - (- 2 y)) (2 - y')}{{(2 x - y)}^{2}}$

Étape 3.11.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 y') - y \cdot 1 - y (- 2 y') + (- x - (- 2 y)) (2 - y')}{{(2 x - y)}^{2}}$

Étape 3.11.2.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.11.2.1.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 x + 2 x (- 2 y') - y \cdot 1 - y (- 2 y') + (- x - (- 2 y)) (2 - y')}{{(2 x - y)}^{2}}$

Étape 3.11.2.1.2.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{2 x - 4 x y' - y \cdot 1 - y (- 2 y') + (- x - (- 2 y)) (2 - y')}{{(2 x - y)}^{2}}$

Étape 3.11.2.1.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 x - 4 x y' - y - y (- 2 y') + (- x - (- 2 y)) (2 - y')}{{(2 x - y)}^{2}}$

Étape 3.11.2.1.2.4

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{2 x - 4 x y' - y + 2 y y' + (- x - (- 2 y)) (2 - y')}{{(2 x - y)}^{2}}$

Étape 3.11.2.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{2 x - 4 x y' - y + 2 y y' + (- x + 2 y) (2 - y')}{{(2 x - y)}^{2}}$

Étape 3.11.2.1.4

Développez $(- x + 2 y) (2 - y')$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.11.2.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x - 4 x y' - y + 2 y y' - x (2 - y') + 2 y (2 - y')}{{(2 x - y)}^{2}}$

Étape 3.11.2.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x - 4 x y' - y + 2 y y' - x \cdot 2 - x (- y') + 2 y (2 - y')}{{(2 x - y)}^{2}}$

Étape 3.11.2.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x - 4 x y' - y + 2 y y' - x \cdot 2 - x (- y') + 2 y \cdot 2 + 2 y (- y')}{{(2 x - y)}^{2}}$

Étape 3.11.2.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.11.2.1.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 x - 4 x y' - y + 2 y y' - 2 x - x (- y') + 2 y \cdot 2 + 2 y (- y')}{{(2 x - y)}^{2}}$

Étape 3.11.2.1.5.2

Multipliez $- x (- y')$ .

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Étape 3.11.2.1.5.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 x - 4 x y' - y + 2 y y' - 2 x + 1 x y' + 2 y \cdot 2 + 2 y (- y')}{{(2 x - y)}^{2}}$

Étape 3.11.2.1.5.2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{2 x - 4 x y' - y + 2 y y' - 2 x + x y' + 2 y \cdot 2 + 2 y (- y')}{{(2 x - y)}^{2}}$

Étape 3.11.2.1.5.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{2 x - 4 x y' - y + 2 y y' - 2 x + x y' + 4 y + 2 y (- y')}{{(2 x - y)}^{2}}$

Étape 3.11.2.1.5.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 x - 4 x y' - y + 2 y y' - 2 x + x y' + 4 y - 2 y y'}{{(2 x - y)}^{2}}$

Étape 3.11.2.2

Associez les termes opposés dans $2 x - 4 x y' - y + 2 y y' - 2 x + x y' + 4 y - 2 y y'$ .

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Étape 3.11.2.2.1

Soustrayez $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{- 4 x y' - y + 2 y y' + 0 + x y' + 4 y - 2 y y'}{{(2 x - y)}^{2}}$

Étape 3.11.2.2.2

Additionnez $- 4 x y' - y + 2 y y'$ et $0$ .

$\frac{- 4 x y' - y + 2 y y' + x y' + 4 y - 2 y y'}{{(2 x - y)}^{2}}$

Étape 3.11.2.2.3

Soustrayez $2 y y'$ de $2 y y'$ .

$\frac{- 4 x y' - y + x y' + 4 y + 0}{{(2 x - y)}^{2}}$

Étape 3.11.2.2.4

Additionnez $- 4 x y' - y + x y' + 4 y$ et $0$ .

$\frac{- 4 x y' - y + x y' + 4 y}{{(2 x - y)}^{2}}$

Étape 3.11.2.3

Additionnez $- 4 x y'$ et $x y'$ .

$\frac{- 3 x y' - y + 4 y}{{(2 x - y)}^{2}}$

Étape 3.11.2.4

Additionnez $- y$ et $4 y$ .

$\frac{- 3 x y' + 3 y}{{(2 x - y)}^{2}}$

Étape 3.11.3

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x y' + 3 y$ .

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Étape 3.11.3.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x y'$ .

$\frac{3 (- x y') + 3 y}{{(2 x - y)}^{2}}$

Étape 3.11.3.2

Factorisez $3$ à partir de $3 y$ .

$\frac{3 (- x y') + 3 (y)}{{(2 x - y)}^{2}}$

Étape 3.11.3.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (- x y') + 3 (y)$ .

$\frac{3 (- x y' + y)}{{(2 x - y)}^{2}}$

Étape 3.11.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- x y'$ .

$\frac{3 (- (x y') + y)}{{(2 x - y)}^{2}}$

Étape 3.11.5

Factorisez $- 1$ à partir de $y$ .

$\frac{3 (- (x y') - 1 (- y))}{{(2 x - y)}^{2}}$

Étape 3.11.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x y') - 1 (- y)$ .

$\frac{3 (- (x y' - y))}{{(2 x - y)}^{2}}$

Étape 3.11.7

Réécrivez $- (x y' - y)$ comme $- 1 (x y' - y)$ .

$\frac{3 (- 1 (x y' - y))}{{(2 x - y)}^{2}}$

Étape 3.11.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 (x y' - y)}{{(2 x - y)}^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - \frac{3 (x y' - y)}{{(2 x - y)}^{2}}$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Multipliez les deux côtés par ${(2 x - y)}^{2}$ .

$y' {(2 x - y)}^{2} = - \frac{3 (x y' - y)}{{(2 x - y)}^{2}} {(2 x - y)}^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Simplifiez $- \frac{3 (x y' - y)}{{(2 x - y)}^{2}} {(2 x - y)}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun de ${(2 x - y)}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3 (x y' - y)}{{(2 x - y)}^{2}}$ dans le numérateur.

$y' {(2 x - y)}^{2} = \frac{- 3 (x y' - y)}{{(2 x - y)}^{2}} {(2 x - y)}^{2}$

Étape 5.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$y' {(2 x - y)}^{2} = \frac{- 3 (x y' - y)}{{(2 x - y)}^{2}} {(2 x - y)}^{2}$

Étape 5.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$y' {(2 x - y)}^{2} = - 3 (x y' - y)$

Étape 5.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y' {(2 x - y)}^{2} = - 3 (x y') - 3 (- y)$

Étape 5.2.1.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$y' {(2 x - y)}^{2} = - 3 x y' + 3 y$

Étape 5.2.1.3.2

Déplacez $x$ .

$y' {(2 x - y)}^{2} = - 3 y' x + 3 y$

Étape 5.3

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.3.1

Déplacez tous les termes contenant $y'$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.3.1.1

Ajoutez $3 y' x$ aux deux côtés de l’équation.

$y' {(2 x - y)}^{2} + 3 y' x = 3 y$

Étape 5.3.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.2.1

Réécrivez ${(2 x - y)}^{2}$ comme $(2 x - y) (2 x - y)$ .

$y' ((2 x - y) (2 x - y)) + 3 y' x = 3 y$

Étape 5.3.1.2.2

Développez $(2 x - y) (2 x - y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.3.1.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y' (2 x (2 x - y) - y (2 x - y)) + 3 y' x = 3 y$

Étape 5.3.1.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y' (2 x (2 x) + 2 x (- y) - y (2 x - y)) + 3 y' x = 3 y$

Étape 5.3.1.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y' (2 x (2 x) + 2 x (- y) - y (2 x) - y (- y)) + 3 y' x = 3 y$

Étape 5.3.1.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.3.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.2.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x (- y) - y (2 x) - y (- y)) + 3 y' x = 3 y$

Étape 5.3.1.2.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.1.2.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$y' (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x (- y) - y (2 x) - y (- y)) + 3 y' x = 3 y$

Étape 5.3.1.2.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y' (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x (- y) - y (2 x) - y (- y)) + 3 y' x = 3 y$

Étape 5.3.1.2.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$y' (4 x^{2} + 2 x (- y) - y (2 x) - y (- y)) + 3 y' x = 3 y$

Étape 5.3.1.2.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' (4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x y - y (2 x) - y (- y)) + 3 y' x = 3 y$

Étape 5.3.1.2.3.1.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y' (4 x^{2} - 2 x y - y (2 x) - y (- y)) + 3 y' x = 3 y$

Étape 5.3.1.2.3.1.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' (4 x^{2} - 2 x y - 1 \cdot 2 y x - y (- y)) + 3 y' x = 3 y$

Étape 5.3.1.2.3.1.7

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y' (4 x^{2} - 2 x y - 2 y x - y (- y)) + 3 y' x = 3 y$

Étape 5.3.1.2.3.1.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' (4 x^{2} - 2 x y - 2 y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y) + 3 y' x = 3 y$

Étape 5.3.1.2.3.1.9

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.1.2.3.1.9.1

Déplacez $y$ .

$y' (4 x^{2} - 2 x y - 2 y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)) + 3 y' x = 3 y$

Étape 5.3.1.2.3.1.9.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$y' (4 x^{2} - 2 x y - 2 y x - 1 \cdot - 1 y^{2}) + 3 y' x = 3 y$

Étape 5.3.1.2.3.1.10

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y' (4 x^{2} - 2 x y - 2 y x + 1 y^{2}) + 3 y' x = 3 y$

Étape 5.3.1.2.3.1.11

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$y' (4 x^{2} - 2 x y - 2 y x + y^{2}) + 3 y' x = 3 y$

Étape 5.3.1.2.3.2

Soustrayez $2 y x$ de $- 2 x y$ .

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Étape 5.3.1.2.3.2.1

Déplacez $y$ .

$y' (4 x^{2} - 2 x y - 2 x y + y^{2}) + 3 y' x = 3 y$

Étape 5.3.1.2.3.2.2

Soustrayez $2 x y$ de $- 2 x y$ .

$y' (4 x^{2} - 4 x y + y^{2}) + 3 y' x = 3 y$

Étape 5.3.1.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$y' (4 x^{2}) + y' (- 4 x y) + y' (y^{2}) + 3 y' x = 3 y$

Étape 5.3.1.2.5

Simplifiez

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Étape 5.3.1.2.5.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 y' x^{2} + y' (- 4 x y) + y' (y^{2}) + 3 y' x = 3 y$

Étape 5.3.1.2.5.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 y' x^{2} - 4 y' x y + y' y^{2} + 3 y' x = 3 y$

Étape 5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $4 y' x^{2} - 4 y' x y + y' y^{2} + 3 y' x$ .

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Étape 5.3.2.1

Factorisez $y'$ à partir de $4 y' x^{2}$ .

$y' (4 x^{2}) - 4 y' x y + y' (y^{2}) + 3 y' x = 3 y$

Étape 5.3.2.2

Factorisez $y'$ à partir de $- 4 y' x y$ .

$y' (4 x^{2}) + y' (- 4 x y) + y' (y^{2}) + 3 y' x = 3 y$

Étape 5.3.2.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' y^{2}$ .

$y' (4 x^{2}) + y' (- 4 x y) + y' (y^{2}) + 3 y' x = 3 y$

Étape 5.3.2.4

Factorisez $y'$ à partir de $3 y' x$ .

$y' (4 x^{2}) + y' (- 4 x y) + y' (y^{2}) + y' (3 x) = 3 y$

Étape 5.3.2.5

Factorisez $y'$ à partir de $y' (4 x^{2}) + y' (- 4 x y)$ .

$y' (4 x^{2} - 4 x y) + y' (y^{2}) + y' (3 x) = 3 y$

Étape 5.3.2.6

Factorisez $y'$ à partir de $y' (4 x^{2} - 4 x y) + y' (y^{2})$ .

$y' (4 x^{2} - 4 x y + y^{2}) + y' (3 x) = 3 y$

Étape 5.3.2.7

Factorisez $y'$ à partir de $y' (4 x^{2} - 4 x y + y^{2}) + y' (3 x)$ .

$y' (4 x^{2} - 4 x y + y^{2} + 3 x) = 3 y$

Étape 5.3.3

Divisez chaque terme dans $y' (4 x^{2} - 4 x y + y^{2} + 3 x) = 3 y$ par $4 x^{2} - 4 x y + y^{2} + 3 x$ et simplifiez.

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Étape 5.3.3.1

Divisez chaque terme dans $y' (4 x^{2} - 4 x y + y^{2} + 3 x) = 3 y$ par $4 x^{2} - 4 x y + y^{2} + 3 x$ .

$\frac{y' (4 x^{2} - 4 x y + y^{2} + 3 x)}{4 x^{2} - 4 x y + y^{2} + 3 x} = \frac{3 y}{4 x^{2} - 4 x y + y^{2} + 3 x}$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4 x^{2} - 4 x y + y^{2} + 3 x$ .

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Étape 5.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (4 x^{2} - 4 x y + y^{2} + 3 x)}{4 x^{2} - 4 x y + y^{2} + 3 x} = \frac{3 y}{4 x^{2} - 4 x y + y^{2} + 3 x}$

Étape 5.3.3.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{3 y}{4 x^{2} - 4 x y + y^{2} + 3 x}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y}{4 x^{2} - 4 x y + y^{2} + 3 x}$