Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{2 x^{2} - 5 x}{3}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2 x^{2} - 5 x}{3})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{2} - 5 x$ .

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Étape 3.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (2 x) - 5 x}{3}]$

Étape 3.1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (2 x) + x \cdot - 5}{3}]$

Étape 3.1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x (2 x) + x \cdot - 5$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (2 x - 5)}{3}]$

Étape 3.1.2

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x (2 x - 5)}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x (2 x - 5)]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x (2 x - 5)]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 2 x - 5$ .

$\frac{1}{3} (x \frac{d}{d x} [2 x - 5] + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{1}{3} (x (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} (x (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{3} (x (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{3} (x (2 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.5

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{3} (x (2 + 0) + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.6.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{1}{3} (x \cdot 2 + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.6.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{1}{3} (2 \cdot x + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{3} (2 x + (2 x - 5) \cdot 1)$

Étape 3.3.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.3.8.1

Multipliez $2 x - 5$ par $1$ .

$\frac{1}{3} (2 x + 2 x - 5)$

Étape 3.3.8.2

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$\frac{1}{3} (4 x - 5)$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{3} (4 x) + \frac{1}{3} \cdot - 5$

Étape 3.4.2

Associez des termes.

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Étape 3.4.2.1

Associez $4$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{4}{3} x + \frac{1}{3} \cdot - 5$

Étape 3.4.2.2

Associez $\frac{4}{3}$ et $x$ .

$\frac{4 x}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 5$

Étape 3.4.2.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 5$ .

$\frac{4 x}{3} + \frac{- 5}{3}$

Étape 3.4.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{4 x}{3} - \frac{5}{3}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{4 x}{3} - \frac{5}{3}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x}{3} - \frac{5}{3}$