Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{3 x - 4}{x^{3}}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{3 x - 4}{x^{3}})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 3 x - 4$ et $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [3 x - 4] - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [3 x - 4] - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [3 x - 4] - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 3.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 3.2.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{3} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 3.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x^{3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 3.2.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{x^{3} (3 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 3.2.6

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{3} (3 + 0) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 3.2.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.7.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$\frac{x^{3} \cdot 3 - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 3.2.7.2

Déplacez $3$ à gauche de $x^{3}$ .

$\frac{3 \cdot x^{3} - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 3.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{3 x^{3} - (3 x - 4) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Étape 3.2.9

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{3 x^{3} - 3 (3 x - 4) x^{2}}{x^{6}}$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{3} + (- 3 (3 x) - 3 \cdot - 4) x^{2}}{x^{6}}$

Étape 3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{3} - 3 (3 x) x^{2} - 3 \cdot - 4 x^{2}}{x^{6}}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.3.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.3.1.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{3} - 3 (3 (x^{2} x)) - 3 \cdot - 4 x^{2}}{x^{6}}$

Étape 3.3.3.1.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 3.3.3.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 x^{3} - 3 (3 (x^{2} x^{1})) - 3 \cdot - 4 x^{2}}{x^{6}}$

Étape 3.3.3.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 x^{3} - 3 (3 x^{2 + 1}) - 3 \cdot - 4 x^{2}}{x^{6}}$

Étape 3.3.3.1.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{3 x^{3} - 3 (3 x^{3}) - 3 \cdot - 4 x^{2}}{x^{6}}$

Étape 3.3.3.1.2

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$\frac{3 x^{3} - 9 x^{3} - 3 \cdot - 4 x^{2}}{x^{6}}$

Étape 3.3.3.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 4$ .

$\frac{3 x^{3} - 9 x^{3} + 12 x^{2}}{x^{6}}$

Étape 3.3.3.2

Soustrayez $9 x^{3}$ de $3 x^{3}$ .

$\frac{- 6 x^{3} + 12 x^{2}}{x^{6}}$

Étape 3.3.4

Factorisez $6 x^{2}$ à partir de $- 6 x^{3} + 12 x^{2}$ .

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Étape 3.3.4.1

Factorisez $6 x^{2}$ à partir de $- 6 x^{3}$ .

$\frac{6 x^{2} (- x) + 12 x^{2}}{x^{6}}$

Étape 3.3.4.2

Factorisez $6 x^{2}$ à partir de $12 x^{2}$ .

$\frac{6 x^{2} (- x) + 6 x^{2} (2)}{x^{6}}$

Étape 3.3.4.3

Factorisez $6 x^{2}$ à partir de $6 x^{2} (- x) + 6 x^{2} (2)$ .

$\frac{6 x^{2} (- x + 2)}{x^{6}}$

Étape 3.3.5

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x^{6}$ .

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Étape 3.3.5.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $6 x^{2} (- x + 2)$ .

$\frac{x^{2} (6 (- x + 2))}{x^{6}}$

Étape 3.3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.5.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{6}$ .

$\frac{x^{2} (6 (- x + 2))}{x^{2} x^{4}}$

Étape 3.3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} (6 (- x + 2))}{x^{2} x^{4}}$

Étape 3.3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{6 (- x + 2)}{x^{4}}$

Étape 3.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{6 (- (x) + 2)}{x^{4}}$

Étape 3.3.7

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$\frac{6 (- (x) - 1 (- 2))}{x^{4}}$

Étape 3.3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{6 (- (x - 2))}{x^{4}}$

Étape 3.3.9

Réécrivez $- (x - 2)$ comme $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{6 (- 1 (x - 2))}{x^{4}}$

Étape 3.3.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{6 (x - 2)}{x^{4}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - \frac{6 (x - 2)}{x^{4}}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 (x - 2)}{x^{4}}$