Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{2 \cos (x)}{1 + \sin (x)}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2 \cos (x)}{1 + \sin (x)})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 \cos (x)}{1 + \sin (x)}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 1 + \sin (x)$ .

$2 \frac{(1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 3.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$2 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 3.4

Différenciez.

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Étape 3.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 3.4.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 3.4.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 3.5

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$2 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 3.6

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$2 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 3.7

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$2 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 3.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 3.10

Associez $2$ et $\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$ .

$\frac{2 ((1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 3.11

Simplifiez

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Étape 3.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (1 (- \sin (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 3.11.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (1 (- \sin (x))) + 2 (\sin (x) (- \sin (x))) + 2 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 3.11.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.11.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.11.3.1.1

Multipliez $- \sin (x)$ par $1$ .

$\frac{2 (- \sin (x)) + 2 (\sin (x) (- \sin (x))) + 2 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 3.11.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 2 \sin (x) + 2 (\sin (x) (- \sin (x))) + 2 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 3.11.3.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- 2 \sin (x) + 2 (- \sin (x) \sin (x)) + 2 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 3.11.3.1.4

Multipliez $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Étape 3.11.3.1.4.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 2 \sin (x) + 2 (- (\sin^{1} (x) \sin (x))) + 2 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 3.11.3.1.4.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 2 \sin (x) + 2 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + 2 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 3.11.3.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 2 \sin (x) + 2 (- {\sin (x)}^{1 + 1}) + 2 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 3.11.3.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 2 \sin (x) + 2 (- \sin^{2} (x)) + 2 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 3.11.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 2 \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 3.11.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 2 \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 3.11.3.2

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{- 2 \sin (x) - 2 (\sin^{2} (x)) - 2 \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 3.11.3.3

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{- 2 \sin (x) - 2 (\sin^{2} (x)) - 2 (\cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 3.11.3.4

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 (\sin^{2} (x)) - 2 (\cos^{2} (x))$ .

$\frac{- 2 \sin (x) - 2 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 3.11.3.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{- 2 \sin (x) - 2 \cdot 1}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 3.11.3.6

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{- 2 \sin (x) - 2}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 3.11.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 2 - 2 \sin (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 3.11.5

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 - 2 \sin (x)$ .

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Étape 3.11.5.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{- 2 (1) - 2 \sin (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 3.11.5.2

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 \sin (x)$ .

$\frac{- 2 (1) - 2 (\sin (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 3.11.5.3

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 (1) - 2 (\sin (x))$ .

$\frac{- 2 (1 + \sin (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 3.11.6

Annulez le facteur commun à $1 + \sin (x)$ et ${(1 + \sin (x))}^{2}$ .

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Étape 3.11.6.1

Factorisez $1 + \sin (x)$ à partir de $- 2 (1 + \sin (x))$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 2}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 3.11.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.11.6.2.1

Factorisez $1 + \sin (x)$ à partir de ${(1 + \sin (x))}^{2}$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 2}{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

Étape 3.11.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 2}{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

Étape 3.11.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2}{1 + \sin (x)}$

Étape 3.11.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{1 + \sin (x)}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - \frac{2}{1 + \sin (x)}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2}{1 + \sin (x)}$