Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 1}^{1} 3^{2 x - 1} d x$

Étape 1

Laissez $u = 2 x - 1$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 2 x - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 2 x - 1$ .

$u_{lower} = 2 \cdot - 1 - 1$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$u_{lower} = - 2 - 1$

Étape 1.3.2

Soustrayez $1$ de $- 2$ .

$u_{lower} = - 3$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 2 x - 1$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1 - 1$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$u_{upper} = 2 - 1$

Étape 1.5.2

Soustrayez $1$ de $2$ .

$u_{upper} = 1$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = 1$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{- 3}^{1} 3^{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2

Associez $3^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int_{- 3}^{1} \frac{3^{u}}{2} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{- 3}^{1} 3^{u} d u$

Étape 4

L’intégrale de $3^{u}$ par rapport à $u$ est $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ .

$\frac{1}{2} \frac{3^{u}}{\ln (3)}]_{- 3}^{1}$

Étape 5

Associez $\frac{1}{2}$ et $\frac{3^{u}}{\ln (3)}]_{- 3}^{1}$ .

$\frac{\frac{3^{u}}{\ln (3)}]_{- 3}^{1}}{2}$

Étape 6

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1

Évaluez $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ sur $1$ et sur $- 3$ .

$\frac{(\frac{3^{1}}{\ln (3)}) - \frac{3^{- 3}}{\ln (3)}}{2}$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Évaluez l’exposant.

$\frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{3^{- 3}}{\ln (3)}}{2}$

Étape 6.2.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{\frac{1}{3^{3}}}{\ln (3)}}{2}$

Étape 6.2.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{\frac{1}{27}}{\ln (3)}}{2}$

Étape 6.2.4

Réécrivez $\frac{\frac{1}{27}}{\ln (3)}$ comme un produit.

$\frac{\frac{3}{\ln (3)} - (\frac{1}{27} \cdot \frac{1}{\ln (3)})}{2}$

Étape 6.2.5

Multipliez $\frac{1}{27}$ par $\frac{1}{\ln (3)}$ .

$\frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{1}{27 \ln (3)}}{2}$

Étape 6.2.6

Multipliez $\frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{1}{27 \ln (3)}}{2}$ par $\frac{\ln (3)}{\ln (3)}$ .

$\frac{\ln (3)}{\ln (3)} \cdot \frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{1}{27 \ln (3)}}{2}$

Étape 6.2.7

Associez.

$\frac{\ln (3) (\frac{3}{\ln (3)} - \frac{1}{27 \ln (3)})}{\ln (3) \cdot 2}$

Étape 6.2.8

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\ln (3) \frac{3}{\ln (3)} + \ln (3) (- \frac{1}{27 \ln (3)})}{\ln (3) \cdot 2}$

Étape 6.2.9

Annulez le facteur commun de $\ln (3)$ .

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Étape 6.2.9.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln (3) \frac{3}{\ln (3)} + \ln (3) (- \frac{1}{27 \ln (3)})}{\ln (3) \cdot 2}$

Étape 6.2.9.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 + \ln (3) (- \frac{1}{27 \ln (3)})}{\ln (3) \cdot 2}$

Étape 6.2.10

Associez $\ln (3)$ et $\frac{1}{27 \ln (3)}$ .

$\frac{3 - \frac{\ln (3)}{27 \ln (3)}}{\ln (3) \cdot 2}$

Étape 6.2.11

Annulez le facteur commun de $\ln (3)$ .

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Étape 6.2.11.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 - \frac{\ln (3)}{27 \ln (3)}}{\ln (3) \cdot 2}$

Étape 6.2.11.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 - \frac{1}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

Étape 6.2.12

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{27}{27}$ .

$\frac{3 \cdot \frac{27}{27} - \frac{1}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

Étape 6.2.13

Associez $3$ et $\frac{27}{27}$ .

$\frac{\frac{3 \cdot 27}{27} - \frac{1}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

Étape 6.2.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{3 \cdot 27 - 1}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

Étape 6.2.15

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.15.1

Multipliez $3$ par $27$ .

$\frac{\frac{81 - 1}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

Étape 6.2.15.2

Soustrayez $1$ de $81$ .

$\frac{\frac{80}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

Étape 6.2.16

Déplacez $2$ à gauche de $\ln (3)$ .

$\frac{\frac{80}{27}}{2 \cdot \ln (3)}$

Étape 6.2.17

Réécrivez $\frac{\frac{80}{27}}{2 \ln (3)}$ comme un produit.

$\frac{80}{27} \cdot \frac{1}{2 \ln (3)}$

Étape 6.2.18

Multipliez $\frac{80}{27}$ par $\frac{1}{2 \ln (3)}$ .

$\frac{80}{27 (2 \ln (3))}$

Étape 6.2.19

Multipliez $2$ par $27$ .

$\frac{80}{54 \ln (3)}$

Étape 6.2.20

Annulez le facteur commun à $80$ et $54$ .

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Étape 6.2.20.1

Factorisez $2$ à partir de $80$ .

$\frac{2 (40)}{54 \ln (3)}$

Étape 6.2.20.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.20.2.1

Factorisez $2$ à partir de $54 \ln (3)$ .

$\frac{2 (40)}{2 (27 \ln (3))}$

Étape 6.2.20.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 40}{2 (27 \ln (3))}$

Étape 6.2.20.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{40}{27 \ln (3)}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{40}{27 \ln (3)}$

Forme décimale :

$1.34850255 \dots$

Étape 8