Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{7 - \sec (x)}{\tan (x)}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{7 - \sec (x)}{\tan (x)})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 7 - \sec (x)$ et $g (x) = \tan (x)$ .

$\frac{\tan (x) \frac{d}{d x} [7 - \sec (x)] - (7 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 - \sec (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- \sec (x)]$ .

$\frac{\tan (x) (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- \sec (x)]) - (7 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Étape 3.2.2

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\tan (x) (0 + \frac{d}{d x} [- \sec (x)]) - (7 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Étape 3.2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- \sec (x)]$ .

$\frac{\tan (x) \frac{d}{d x} [- \sec (x)] - (7 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Étape 3.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sec (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$\frac{\tan (x) (- \frac{d}{d x} [\sec (x)]) - (7 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Étape 3.3

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{\tan (x) (- (\sec (x) \tan (x))) - (7 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Étape 3.4

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{- \sec (x) (\tan^{1} (x) \tan (x)) - (7 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Étape 3.5

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{- \sec (x) (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) - (7 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Étape 3.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- \sec (x) {\tan (x)}^{1 + 1} - (7 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Étape 3.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - (7 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Étape 3.8

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - (7 - \sec (x)) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Étape 3.9

Simplifiez

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Étape 3.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) + (- 1 \cdot 7 - - \sec (x)) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Étape 3.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 1 \cdot 7 \sec^{2} (x) - - \sec (x) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Étape 3.9.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.9.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.9.3.1.1

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 7 \sec^{2} (x) - - \sec (x) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Étape 3.9.3.1.2

Multipliez $\sec (x)$ par $\sec^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.9.3.1.2.1

Déplacez $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 7 \sec^{2} (x) - - (\sec^{2} (x) \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Étape 3.9.3.1.2.2

Multipliez $\sec^{2} (x)$ par $\sec (x)$ .

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Étape 3.9.3.1.2.2.1

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 7 \sec^{2} (x) - - (\sec^{2} (x) \sec^{1} (x))}{\tan^{2} (x)}$

Étape 3.9.3.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 7 \sec^{2} (x) - - {\sec (x)}^{2 + 1}}{\tan^{2} (x)}$

Étape 3.9.3.1.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 7 \sec^{2} (x) - - \sec^{3} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Étape 3.9.3.1.3

Multipliez $- - \sec^{3} (x)$ .

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Étape 3.9.3.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 7 \sec^{2} (x) + 1 \sec^{3} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Étape 3.9.3.1.3.2

Multipliez $\sec^{3} (x)$ par $1$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 7 \sec^{2} (x) + \sec^{3} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Étape 3.9.3.2

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $- \sec (x) \tan^{2} (x) - 7 \sec^{2} (x) + \sec^{3} (x)$ .

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Étape 3.9.3.2.1

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $- \sec (x) \tan^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x)) - 7 \sec^{2} (x) + \sec^{3} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Étape 3.9.3.2.2

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $- 7 \sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) (- 7 \sec (x)) + \sec^{3} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Étape 3.9.3.2.3

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $\sec^{3} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) (- 7 \sec (x)) + \sec (x) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Étape 3.9.3.2.4

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $\sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) (- 7 \sec (x))$ .

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x) - 7 \sec (x)) + \sec (x) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Étape 3.9.3.2.5

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $\sec (x) (- \tan^{2} (x) - 7 \sec (x)) + \sec (x) \sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x) - 7 \sec (x) + \sec^{2} (x))}{\tan^{2} (x)}$

Étape 3.9.3.3

Déplacez $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x) + \sec^{2} (x) - 7 \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Étape 3.9.3.4

Remettez dans l’ordre $- \tan^{2} (x)$ et $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) - 7 \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Étape 3.9.3.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{\sec (x) (1 - 7 \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Étape 3.9.3.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- 7 \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Étape 3.9.3.7

Multipliez $\sec (x)$ par $1$ .

$\frac{\sec (x) + \sec (x) (- 7 \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Étape 3.9.3.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\sec (x) - 7 \sec (x) \sec (x)}{\tan^{2} (x)}$

Étape 3.9.3.9

Multipliez $- 7 \sec (x) \sec (x)$ .

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Étape 3.9.3.9.1

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sec (x) - 7 (\sec^{1} (x) \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Étape 3.9.3.9.2

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sec (x) - 7 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x))}{\tan^{2} (x)}$

Étape 3.9.3.9.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sec (x) - 7 {\sec (x)}^{1 + 1}}{\tan^{2} (x)}$

Étape 3.9.3.9.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sec (x) - 7 \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Étape 3.9.4

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $\sec (x) - 7 \sec^{2} (x)$ .

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Étape 3.9.4.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{\sec (x) \cdot 1 - 7 \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Étape 3.9.4.2

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $- 7 \sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- 7 \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Étape 3.9.4.3

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- 7 \sec (x))$ .

$\frac{\sec (x) (1 - 7 \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Étape 3.9.5

Factorisez $\tan (x)$ à partir de $\tan^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (1 - 7 \sec (x))}{\tan (x) \tan (x)}$

Étape 3.9.6

Séparez les fractions.

$\frac{1 - 7 \sec (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{\sec (x)}{\tan (x)}$

Étape 3.9.7

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1 - 7 \sec (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{\sec (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 3.9.8

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1 - 7 \sec (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 3.9.9

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1 - 7 \sec (x)}{\tan (x)} (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Étape 3.9.10

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 3.9.10.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 - 7 \sec (x)}{\tan (x)} (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Étape 3.9.10.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 - 7 \sec (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 3.9.11

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$\frac{1 - 7 \sec (x)}{\tan (x)} \csc (x)$

Étape 3.9.12

Associez $\frac{1 - 7 \sec (x)}{\tan (x)}$ et $\csc (x)$ .

$\frac{(1 - 7 \sec (x)) \csc (x)}{\tan (x)}$

Étape 3.9.13

Séparez les fractions.

$\frac{1 - 7 \sec (x)}{1} \cdot \frac{\csc (x)}{\tan (x)}$

Étape 3.9.14

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1 - 7 \sec (x)}{1} \cdot \frac{\csc (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 3.9.15

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1 - 7 \sec (x)}{1} \cdot \frac{\frac{1}{\sin (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 3.9.16

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1 - 7 \sec (x)}{1} (\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Étape 3.9.17

Simplifiez

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Étape 3.9.17.1

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$\frac{1 - 7 \sec (x)}{1} (\csc (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Étape 3.9.17.2

Convertissez de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ à $\cot (x)$ .

$\frac{1 - 7 \sec (x)}{1} (\csc (x) \cot (x))$

Étape 3.9.18

Divisez $1 - 7 \sec (x)$ par $1$ .

$(1 - 7 \sec (x)) (\csc (x) \cot (x))$

Étape 3.9.19

Appliquez la propriété distributive.

$1 (\csc (x) \cot (x)) - 7 \sec (x) (\csc (x) \cot (x))$

Étape 3.9.20

Multipliez $\csc (x) \cot (x)$ par $1$ .

$\csc (x) \cot (x) - 7 \sec (x) \csc (x) \cot (x)$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \csc (x) \cot (x) - 7 \sec (x) \csc (x) \cot (x)$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \csc (x) \cot (x) - 7 \sec (x) \csc (x) \cot (x)$