Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{8 x}{3 - \tan (x)}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{8 x}{3 - \tan (x)})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{8 x}{3 - \tan (x)}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 - \tan (x)}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 - \tan (x)}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 3 - \tan (x)$ .

$8 \frac{(3 - \tan (x)) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [3 - \tan (x)]}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 \frac{(3 - \tan (x)) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [3 - \tan (x)]}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

Étape 3.3.2

Multipliez $3 - \tan (x)$ par $1$ .

$8 \frac{3 - \tan (x) - x \frac{d}{d x} [3 - \tan (x)]}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

Étape 3.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 - \tan (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$8 \frac{3 - \tan (x) - x (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)])}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

Étape 3.3.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$8 \frac{3 - \tan (x) - x (0 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)])}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

Étape 3.3.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$8 \frac{3 - \tan (x) - x \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

Étape 3.3.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \tan (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$8 \frac{3 - \tan (x) - x (- \frac{d}{d x} [\tan (x)])}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

Étape 3.3.7

Multipliez.

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Étape 3.3.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$8 \frac{3 - \tan (x) + 1 x \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

Étape 3.3.7.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$8 \frac{3 - \tan (x) + x \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

Étape 3.4

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$8 \frac{3 - \tan (x) + x \sec^{2} (x)}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

Étape 3.5

Associez $8$ et $\frac{3 - \tan (x) + x \sec^{2} (x)}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$ .

$\frac{8 (3 - \tan (x) + x \sec^{2} (x))}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 \cdot 3 + 8 (- \tan (x)) + 8 (x \sec^{2} (x))}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

Étape 3.6.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.6.2.1

Multipliez $8$ par $3$ .

$\frac{24 + 8 (- \tan (x)) + 8 (x \sec^{2} (x))}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

Étape 3.6.2.2

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$\frac{24 - 8 \tan (x) + 8 x \sec^{2} (x)}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

Étape 3.6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{8 x \sec^{2} (x) + 24 - 8 \tan (x)}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

Étape 3.6.4

Factorisez $8$ à partir de $8 x \sec^{2} (x) + 24 - 8 \tan (x)$ .

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Étape 3.6.4.1

Factorisez $8$ à partir de $8 x \sec^{2} (x)$ .

$\frac{8 (x \sec^{2} (x)) + 24 - 8 \tan (x)}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

Étape 3.6.4.2

Factorisez $8$ à partir de $24$ .

$\frac{8 (x \sec^{2} (x)) + 8 (3) - 8 \tan (x)}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

Étape 3.6.4.3

Factorisez $8$ à partir de $- 8 \tan (x)$ .

$\frac{8 (x \sec^{2} (x)) + 8 (3) + 8 (- \tan (x))}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

Étape 3.6.4.4

Factorisez $8$ à partir de $8 (x \sec^{2} (x)) + 8 (3)$ .

$\frac{8 (x \sec^{2} (x) + 3) + 8 (- \tan (x))}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

Étape 3.6.4.5

Factorisez $8$ à partir de $8 (x \sec^{2} (x) + 3) + 8 (- \tan (x))$ .

$\frac{8 (x \sec^{2} (x) + 3 - \tan (x))}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{8 (x \sec^{2} (x) + 3 - \tan (x))}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 (x \sec^{2} (x) + 3 - \tan (x))}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$