Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{7 x}{x - 1}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{7 x}{x - 1})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{7 x}{x - 1}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 1}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 1}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x - 1$ .

$7 \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$7 \frac{(x - 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Multipliez $x - 1$ par $1$ .

$7 \frac{x - 1 - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$7 \frac{x - 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$7 \frac{x - 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$7 \frac{x - 1 - x (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.6

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.6.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$7 \frac{x - 1 - x \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.6.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$7 \frac{x - 1 - x}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.6.3

Soustrayez $x$ de $x$ .

$7 \frac{0 - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.6.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.6.4.1

Soustrayez $1$ de $0$ .

$7 \frac{- 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.6.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$7 (- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}})$

Étape 3.3.6.4.3

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$- 7 \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.6.5

Associez $- 7$ et $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 7}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.6.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{7}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - \frac{7}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{7}{{(x - 1)}^{2}}$