Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x^{7}}{7} \cdot \ln (x) - \frac{x^{7}}{49}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{7}}{7} \cdot \ln (x) - \frac{x^{7}}{49})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x^{7}}{7} \cdot \ln (x) - \frac{x^{7}}{49}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{7} \cdot \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{7}}{49}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{7} \cdot \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{7}}{49}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{7} \cdot \ln (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Associez $\frac{x^{7}}{7}$ et $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{7} \ln (x)}{7}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{7}}{49}]$

Étape 3.2.2

Comme $\frac{1}{7}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{7} \ln (x)}{7}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{7} \frac{d}{d x} [x^{7} \ln (x)]$ .

$\frac{1}{7} \frac{d}{d x} [x^{7} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{7}}{49}]$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{7}$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{1}{7} (x^{7} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{7}}{49}]$

Étape 3.2.4

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{7} (x^{7} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{7}}{49}]$

Étape 3.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$\frac{1}{7} (x^{7} \frac{1}{x} + \ln (x) (7 x^{6})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{7}}{49}]$

Étape 3.2.6

Associez $x^{7}$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{x^{7}}{x} + \ln (x) (7 x^{6})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{7}}{49}]$

Étape 3.2.7

Annulez le facteur commun à $x^{7}$ et $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.7.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{7}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{x \cdot x^{6}}{x} + \ln (x) (7 x^{6})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{7}}{49}]$

Étape 3.2.7.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.7.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{7} (\frac{x \cdot x^{6}}{x^{1}} + \ln (x) (7 x^{6})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{7}}{49}]$

Étape 3.2.7.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} + \ln (x) (7 x^{6})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{7}}{49}]$

Étape 3.2.7.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{7} (\frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} + \ln (x) (7 x^{6})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{7}}{49}]$

Étape 3.2.7.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{7} (\frac{x^{6}}{1} + \ln (x) (7 x^{6})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{7}}{49}]$

Étape 3.2.7.2.5

Divisez $x^{6}$ par $1$ .

$\frac{1}{7} (x^{6} + \ln (x) (7 x^{6})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{7}}{49}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{7}}{49}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Comme $- \frac{1}{49}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x^{7}}{49}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{49} \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$\frac{1}{7} (x^{6} + \ln (x) (7 x^{6})) - \frac{1}{49} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$\frac{1}{7} (x^{6} + \ln (x) (7 x^{6})) - \frac{1}{49} (7 x^{6})$

Étape 3.3.3

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$\frac{1}{7} (x^{6} + \ln (x) (7 x^{6})) - 7 (\frac{1}{49}) x^{6}$

Étape 3.3.4

Associez $- 7$ et $\frac{1}{49}$ .

$\frac{1}{7} (x^{6} + \ln (x) (7 x^{6})) + \frac{- 7}{49} x^{6}$

Étape 3.3.5

Associez $\frac{- 7}{49}$ et $x^{6}$ .

$\frac{1}{7} (x^{6} + \ln (x) (7 x^{6})) + \frac{- 7 x^{6}}{49}$

Étape 3.3.6

Annulez le facteur commun à $- 7$ et $49$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.6.1

Factorisez $7$ à partir de $- 7 x^{6}$ .

$\frac{1}{7} (x^{6} + \ln (x) (7 x^{6})) + \frac{7 (- x^{6})}{49}$

Étape 3.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.6.2.1

Factorisez $7$ à partir de $49$ .

$\frac{1}{7} (x^{6} + \ln (x) (7 x^{6})) + \frac{7 (- x^{6})}{7 (7)}$

Étape 3.3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{7} (x^{6} + \ln (x) (7 x^{6})) + \frac{7 (- x^{6})}{7 \cdot 7}$

Étape 3.3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{7} (x^{6} + \ln (x) (7 x^{6})) + \frac{- x^{6}}{7}$

Étape 3.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{7} (x^{6} + \ln (x) (7 x^{6})) - \frac{x^{6}}{7}$

Étape 3.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{7} x^{6} + \frac{1}{7} (\ln (x) (7 x^{6})) - \frac{x^{6}}{7}$

Étape 3.4.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1

Associez $\ln (x)$ et $\frac{1}{7}$ .

$\frac{1}{7} x^{6} + \frac{\ln (x)}{7} (7 x^{6}) - \frac{x^{6}}{7}$

Étape 3.4.2.2

Associez $7$ et $\frac{\ln (x)}{7}$ .

$\frac{1}{7} x^{6} + \frac{7 \ln (x)}{7} x^{6} - \frac{x^{6}}{7}$

Étape 3.4.2.3

Associez $\frac{7 \ln (x)}{7}$ et $x^{6}$ .

$\frac{1}{7} x^{6} + \frac{7 \ln (x) x^{6}}{7} - \frac{x^{6}}{7}$

Étape 3.4.2.4

Annulez le facteur commun de $7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{7} x^{6} + \frac{7 \ln (x) x^{6}}{7} - \frac{x^{6}}{7}$

Étape 3.4.2.4.2

Divisez $\ln (x) x^{6}$ par $1$ .

$\frac{1}{7} x^{6} + \ln (x) x^{6} - \frac{x^{6}}{7}$

Étape 3.4.2.5

Pour écrire $\frac{1}{7} x^{6}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$\ln (x) x^{6} + \frac{1}{7} x^{6} \cdot \frac{7}{7} - \frac{x^{6}}{7}$

Étape 3.4.2.6

Associez $\frac{1}{7} x^{6}$ et $\frac{7}{7}$ .

$\ln (x) x^{6} + \frac{\frac{1}{7} x^{6} \cdot 7}{7} - \frac{x^{6}}{7}$

Étape 3.4.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\ln (x) x^{6} + \frac{\frac{1}{7} x^{6} \cdot 7 - x^{6}}{7}$

Étape 3.4.2.8

Associez $\frac{1}{7}$ et $x^{6}$ .

$\ln (x) x^{6} + \frac{\frac{x^{6}}{7} \cdot 7 - x^{6}}{7}$

Étape 3.4.2.9

Associez $\frac{x^{6}}{7}$ et $7$ .

$\ln (x) x^{6} + \frac{\frac{x^{6} \cdot 7}{7} - x^{6}}{7}$

Étape 3.4.2.10

Déplacez $7$ à gauche de $x^{6}$ .

$\ln (x) x^{6} + \frac{\frac{7 \cdot x^{6}}{7} - x^{6}}{7}$

Étape 3.4.2.11

Annulez le facteur commun de $7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.11.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (x) x^{6} + \frac{\frac{7 x^{6}}{7} - x^{6}}{7}$

Étape 3.4.2.11.2

Divisez $x^{6}$ par $1$ .

$\ln (x) x^{6} + \frac{x^{6} - x^{6}}{7}$

Étape 3.4.2.12

Soustrayez $x^{6}$ de $x^{6}$ .

$\ln (x) x^{6} + \frac{0}{7}$

Étape 3.4.2.13

Annulez le facteur commun à $0$ et $7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.13.1

Factorisez $7$ à partir de $0$ .

$\ln (x) x^{6} + \frac{7 (0)}{7}$

Étape 3.4.2.13.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.13.2.1

Factorisez $7$ à partir de $7$ .

$\ln (x) x^{6} + \frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (x) x^{6} + \frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (x) x^{6} + \frac{0}{1}$

Étape 3.4.2.13.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\ln (x) x^{6} + 0$

Étape 3.4.2.14

Additionnez $\ln (x) x^{6}$ et $0$ .

$\ln (x) x^{6}$

Étape 3.4.3

Réorganisez les facteurs de $\ln (x) x^{6}$ .

$x^{6} \ln (x)$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = x^{6} \ln (x)$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{6} \ln (x)$