Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x^{2} + 2 x - 2}{x^{2} - 2 x + 2}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{2} + 2 x - 2}{x^{2} - 2 x + 2})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} + 2 x - 2$ et $g (x) = x^{2} - 2 x + 2$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 2] - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 2 x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.2.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.2.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.2.6

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2 + 0) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.2.7

Additionnez $2 x + 2$ et $0$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.2.10

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 2) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.2.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 2) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.2.12

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 2) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.2.13

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 2) (2 x - 2 + 0)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.2.14

Additionnez $2 x - 2$ et $0$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2) + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.1

Développez $(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3.2.1.2

Associez les termes opposés dans $x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot 2$ .

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Étape 3.3.2.1.2.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $- 2 x \cdot 2$ et $2 (2 x)$ .

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) - 2 \cdot 2 x + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3.2.1.2.2

Additionnez $- 2 \cdot 2 x$ et $2 \cdot 2 x$ .

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) + 0 + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3.2.1.2.3

Additionnez $x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x)$ et $0$ .

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3.2.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3.2.1.3.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.2.1.3.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3.2.1.3.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.3.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3.2.1.3.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3.2.1.3.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3.2.1.3.3

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot x^{2} - 2 x (2 x) + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3.2.1.3.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3.2.1.3.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.2.1.3.5.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3.2.1.3.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 \cdot 2 x^{2} + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3.2.1.3.6

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{2} + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3.2.1.3.7

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{2} + 4 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3.2.1.4

Soustrayez $4 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3.2.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 + (- x^{2} - 2 x - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3.2.1.5.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 + (- x^{2} - 2 x + 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3.2.1.6

Développez $(- x^{2} - 2 x + 2) (2 x - 2)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot - 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3.2.1.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.7.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot - 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3.2.1.7.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.2.1.7.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot - 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3.2.1.7.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.7.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot - 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3.2.1.7.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot - 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3.2.1.7.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot - 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3.2.1.7.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 2 x^{3} - x^{2} \cdot - 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3.2.1.7.4

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3.2.1.7.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 \cdot 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3.2.1.7.6

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.2.1.7.6.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 \cdot 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3.2.1.7.6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 \cdot 2 x^{2} - 2 x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3.2.1.7.7

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{2} - 2 x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3.2.1.7.8

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{2} + 4 x + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3.2.1.7.9

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{2} + 4 x + 4 x + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3.2.1.7.10

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{2} + 4 x + 4 x - 4}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3.2.1.8

Soustrayez $4 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 4 x - 4}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3.2.1.9

Additionnez $4 x$ et $4 x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 4}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3.2.2

Associez les termes opposés dans $2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 4$ .

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Étape 3.3.2.2.1

Soustrayez $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 4 + 0 - 2 x^{2} + 8 x - 4}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3.2.2.2

Additionnez $- 2 x^{2} + 4$ et $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 4 - 2 x^{2} + 8 x - 4}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3.2.2.3

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 2 x^{2} + 8 x + 0}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3.2.2.4

Additionnez $- 2 x^{2} - 2 x^{2} + 8 x$ et $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 2 x^{2} + 8 x}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3.2.3

Soustrayez $2 x^{2}$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 8 x}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3.3

Factorisez $4 x$ à partir de $- 4 x^{2} + 8 x$ .

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Étape 3.3.3.1

Factorisez $4 x$ à partir de $- 4 x^{2}$ .

$\frac{4 x (- x) + 8 x}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3.3.2

Factorisez $4 x$ à partir de $8 x$ .

$\frac{4 x (- x) + 4 x (2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3.3.3

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (- x) + 4 x (2)$ .

$\frac{4 x (- x + 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{4 x (- (x) + 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3.5

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$\frac{4 x (- (x) - 1 (- 2))}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{4 x (- (x - 2))}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3.7

Réécrivez $- (x - 2)$ comme $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{4 x (- 1 (x - 2))}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(4 x) (x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - \frac{(4 x) (x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{(4 x) (x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$