Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{e^{x}}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{e^{x}})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.1.1

Réécrivez $\frac{1}{e^{x}}$ comme ${(e^{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(e^{x})}^{- 1}]$

Étape 3.1.2

Multipliez les exposants dans ${(e^{x})}^{- 1}$ .

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Étape 3.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x \cdot - 1}]$

Étape 3.1.2.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- 1 \cdot x}]$

Étape 3.1.2.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Étape 3.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e^{- x} \cdot - 1$

Étape 3.3.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$- 1 \cdot e^{- x}$

Étape 3.3.3.3

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$- e^{- x}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - e^{- x}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - e^{- x}$