Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{\sqrt{3 - 2 x}}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 - 2 x}$ comme ${(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{1}{{(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 3

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1.1

Réécrivez $\frac{1}{{(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ comme ${({(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Étape 4.1.2

Multipliez les exposants dans ${({(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 4.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Étape 4.1.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(3 - 2 x)}^{\frac{- 1}{2}}]$

Étape 4.1.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d}{d x} [{(3 - 2 x)}^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ et $g (x) = 3 - 2 x$ .

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Étape 4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 - 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 - 2 x$ .

$- \frac{1}{2} {(3 - 2 x)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

Étape 4.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(3 - 2 x)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

Étape 4.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(3 - 2 x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

Étape 4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{1}{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

Étape 4.6.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$- \frac{1}{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

Étape 4.7

Associez les fractions.

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Étape 4.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2} {(3 - 2 x)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

Étape 4.7.2

Associez ${(3 - 2 x)}^{- \frac{3}{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{{(3 - 2 x)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

Étape 4.7.3

Placez ${(3 - 2 x)}^{- \frac{3}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

Étape 4.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$- \frac{1}{2 {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Étape 4.9

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{1}{2 {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Étape 4.10

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$- \frac{1}{2 {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 4.11

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{2 {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.12

Simplifiez les termes.

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Étape 4.12.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$2 \frac{1}{2 {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.12.2

Associez $2$ et $\frac{1}{2 {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.12.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2 {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.12.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{{(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{{(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 1$

Étape 4.14

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.14.1

Multipliez $\frac{1}{{(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}$ par $1$ .

$\frac{1}{{(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.14.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{{(- 2 x + 3)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{1}{{(- 2 x + 3)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(- 2 x + 3)}^{\frac{3}{2}}}$