Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} + 1}$ comme ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 3

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.2

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{1}}$

Étape 4.3

Simplifiez

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 4.4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Étape 4.4.2

Déplacez $2$ à gauche de ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Étape 4.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Étape 4.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 1$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Étape 4.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Étape 4.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Étape 4.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Étape 4.7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Étape 4.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Étape 4.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Étape 4.9.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Étape 4.10

Associez les fractions.

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Étape 4.10.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Étape 4.10.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Étape 4.10.3

Placez ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Étape 4.10.4

Associez $\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x^{2}$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{x^{2} + 1}$

Étape 4.11

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{x^{2} + 1}$

Étape 4.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{x^{2} + 1}$

Étape 4.13

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)}{x^{2} + 1}$

Étape 4.14

Associez les fractions.

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Étape 4.14.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)}{x^{2} + 1}$

Étape 4.14.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - 2 \frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x}{x^{2} + 1}$

Étape 4.14.3

Associez $- 2$ et $\frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x}{x^{2} + 1}$

Étape 4.14.4

Associez $\frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- 2 x^{2} x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Étape 4.15

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- 2 (x^{1} x^{2})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Étape 4.16

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- 2 x^{1 + 2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Étape 4.17

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- 2 x^{3}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Étape 4.18

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{3}$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{3})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Étape 4.19

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.19.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{3})}{2 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}}{x^{2} + 1}$

Étape 4.19.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{3})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Étape 4.19.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Étape 4.20

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Étape 4.21

Associez $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ et $- \frac{x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ en utilisant un dénominateur commun.

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Étape 4.21.1

Déplacez ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Étape 4.21.2

Pour écrire $2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Étape 4.21.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Étape 4.22

Multipliez ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.22.1

Déplacez ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 x ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Étape 4.22.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Étape 4.22.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Étape 4.22.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Étape 4.22.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{\frac{2 x {(x^{2} + 1)}^{1} - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Étape 4.23

Simplifiez $2 x {(x^{2} + 1)}^{1}$ .

$\frac{\frac{2 x (x^{2} + 1) - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Étape 4.24

Réécrivez $\frac{\frac{2 x (x^{2} + 1) - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$ comme un produit.

$\frac{2 x (x^{2} + 1) - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 1}$

Étape 4.25

Multipliez $\frac{2 x (x^{2} + 1) - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 1) - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 1)}$

Étape 4.26

Multipliez ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par $x^{2} + 1$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.26.1

Multipliez ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par $x^{2} + 1$ .

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Étape 4.26.1.1

Élevez $x^{2} + 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 1) - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{1}}$

Étape 4.26.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x (x^{2} + 1) - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Étape 4.26.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{2 x (x^{2} + 1) - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Étape 4.26.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 x (x^{2} + 1) - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Étape 4.26.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 1) - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.27

Simplifiez

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Étape 4.27.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 1 - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.27.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.27.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.27.2.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.27.2.1.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} x) + 2 x \cdot 1 - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.27.2.1.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 4.27.2.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot 1 - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.27.2.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{2 + 1} + 2 x \cdot 1 - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.27.2.1.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x \cdot 1 - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.27.2.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.27.2.2

Soustrayez $x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{x^{3} + 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.27.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} + 2 x$ .

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Étape 4.27.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.27.3.2

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.27.3.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x \cdot 2$ .

$\frac{x (x^{2} + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{x (x^{2} + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (x^{2} + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$