Calcul infinitésimal Exemples

$x \sqrt{y + 1} = x y + 1$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y + 1}$ comme ${(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} = x y + 1$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (x y + 1)$

Étape 3

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(y + 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = y + 1$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y + 1$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y + 1]) + {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y + 1]) + {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y + 1$ .

$x (\frac{1}{2} {(y + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y + 1]) + {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(y + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [y + 1]) + {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(y + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y + 1]) + {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x (\frac{1}{2} {(y + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y + 1]) + {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(y + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [y + 1]) + {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(y + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [y + 1]) + {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.7

Associez les fractions.

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Étape 3.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x (\frac{1}{2} {(y + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y + 1]) + {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(y + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(y + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [y + 1]) + {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.7.3

Placez ${(y + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y + 1]) + {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.7.4

Associez $\frac{1}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{x}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y + 1] + {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]) + {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.9

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{x}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}} (y' + \frac{d}{d x} [1]) + {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.10

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}} (y' + 0) + {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.11

Associez les fractions.

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Étape 3.11.1

Additionnez $y'$ et $0$ .

$\frac{x}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}} y' + {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.11.2

Associez $\frac{x}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ et $y'$ .

$\frac{x y'}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x y'}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Étape 3.13

Multipliez ${(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\frac{x y'}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 3.14

Pour écrire ${(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x y'}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.15

Associez ${(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x y'}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(y + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.16

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x y' + {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.17

Multipliez ${(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.17.1

Déplacez ${(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x y' + {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.17.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x y' + {(y + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.17.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x y' + {(y + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.17.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x y' + {(y + 1)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.17.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{x y' + {(y + 1)}^{1} \cdot 2}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.18

Simplifiez ${(y + 1)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{x y' + (y + 1) \cdot 2}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.19

Déplacez $2$ à gauche de $y + 1$ .

$\frac{x y' + 2 \cdot (y + 1)}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.20

Simplifiez

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Étape 3.20.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x y' + 2 y + 2 \cdot 1}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.20.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{x y' + 2 y + 2}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x y + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Étape 4.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.2.4

Multipliez $y$ par $1$ .

$x y' + y + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.3.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x y' + y + 0$

Étape 4.3.2

Additionnez $x y' + y$ et $0$ .

$x y' + y$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\frac{x y' + 2 y + 2}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}} = x y' + y$

Étape 6

Résolvez $y'$ .

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Étape 6.1

Multipliez les deux côtés par $2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x y' + 2 y + 2}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}) = (x y' + y) (2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1.1

Simplifiez $\frac{x y' + 2 y + 2}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})$ .

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Étape 6.2.1.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \frac{x y' + 2 y + 2}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}} {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} = (x y' + y) (2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x y' + 2 y + 2}{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}} {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} = (x y' + y) (2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x y' + 2 y + 2}{{(y + 1)}^{\frac{1}{2}}} {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} = (x y' + y) (2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.1.1.3

Annulez le facteur commun de ${(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 6.2.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y' + 2 y + 2}{{(y + 1)}^{\frac{1}{2}}} {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} = (x y' + y) (2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$x y' + 2 y + 2 = (x y' + y) (2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.1.1.4

Remettez dans l’ordre $x$ et $y'$ .

$y' x + 2 y + 2 = (x y' + y) (2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez $(x y' + y) (2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y' x + 2 y + 2 = x y' (2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}) + y (2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.2.1.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 6.2.2.1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' x + 2 y + 2 = 2 x y' {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} + y (2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.2.1.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' x + 2 y + 2 = 2 x y' {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} + 2 y {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.2.2.1.2.3

Déplacez $x$ .

$y' x + 2 y + 2 = 2 y' x {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} + 2 y {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.3

Résolvez $y'$ .

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Étape 6.3.1

Soustrayez $2 y' x {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ des deux côtés de l’équation.

$y' x + 2 y + 2 - 2 y' x {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} = 2 y {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.3.2.1

Soustrayez $2 y$ des deux côtés de l’équation.

$y' x + 2 - 2 y' x {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} = 2 y {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 y$

Étape 6.3.2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$y' x - 2 y' x {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} = 2 y {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 y - 2$

Étape 6.3.3

Factorisez $y' x$ à partir de $y' x - 2 y' x {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 6.3.3.1

Factorisez $y' x$ à partir de $y' x$ .

$y' x \cdot 1 - 2 y' x {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} = 2 y {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 y - 2$

Étape 6.3.3.2

Factorisez $y' x$ à partir de $- 2 y' x {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' x \cdot 1 + y' x (- 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}) = 2 y {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 y - 2$

Étape 6.3.3.3

Factorisez $y' x$ à partir de $y' x \cdot 1 + y' x (- 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})$ .

$y' x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}) = 2 y {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 y - 2$

Étape 6.3.4

Divisez chaque terme dans $y' x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}) = 2 y {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 y - 2$ par $x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})$ et simplifiez.

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Étape 6.3.4.1

Divisez chaque terme dans $y' x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}) = 2 y {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 y - 2$ par $x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{y' x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})} = \frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})} + \frac{- 2 y}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})} + \frac{- 2}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 6.3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.4.2.1

Annulez le facteur commun.

Étape 6.3.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}{1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})} + \frac{- 2 y}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})} + \frac{- 2}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 6.3.4.2.3

Annulez le facteur commun.

Étape 6.3.4.2.4

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})} + \frac{- 2 y}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})} + \frac{- 2}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 6.3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.4.3.1

Simplifiez les termes.

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Étape 6.3.4.3.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.4.3.1.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})} - \frac{2 y}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})} + \frac{- 2}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 6.3.4.3.1.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})} - \frac{2 y}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})} - \frac{2}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 6.3.4.3.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 6.3.4.3.1.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 y}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})} - \frac{2}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 6.3.4.3.1.2.2

Factorisez $2 y$ à partir de $2 y {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 y$ .

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Étape 6.3.4.3.1.2.2.1

Factorisez $2 y$ à partir de $2 y {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{2 y ({(y + 1)}^{\frac{1}{2}}) - 2 y}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})} - \frac{2}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 6.3.4.3.1.2.2.2

Factorisez $2 y$ à partir de $- 2 y$ .

$y' = \frac{2 y ({(y + 1)}^{\frac{1}{2}}) + 2 y (- 1)}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})} - \frac{2}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 6.3.4.3.1.2.2.3

Factorisez $2 y$ à partir de $2 y ({(y + 1)}^{\frac{1}{2}}) + 2 y (- 1)$ .

$y' = \frac{2 y ({(y + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})} - \frac{2}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 6.3.4.3.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{2 y ({(y + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) - 2}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 6.3.4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.4.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y ({(y + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) - 2$ .

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Étape 6.3.4.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y ({(y + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1)$ .

$y' = \frac{2 (y ({(y + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1)) - 2}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 6.3.4.3.2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$y' = \frac{2 (y ({(y + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1)) + 2 (- 1)}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 6.3.4.3.2.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (y ({(y + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1)) + 2 (- 1)$ .

$y' = \frac{2 (y ({(y + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) - 1)}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 6.3.4.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y' = \frac{2 (y {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} + y \cdot - 1 - 1)}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 6.3.4.3.2.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $y$ .

$y' = \frac{2 (y {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot y - 1)}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 6.3.4.3.2.4

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$y' = \frac{2 (y {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} - y - 1)}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 7

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (y {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} - y - 1)}{x (1 - 2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}$