Calcul infinitésimal Exemples

$x {(y + 2)}^{5} = 9$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x {(y + 2)}^{5}) = \frac{d}{d x} (9)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Utilisez le théorème du binôme.

$\frac{d}{d x} [x (y^{5} + 5 y^{4} \cdot 2 + 10 y^{3} \cdot 2^{2} + 10 y^{2} \cdot 2^{3} + 5 y \cdot 2^{4} + 2^{5})]$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{d}{d x} [x (y^{5} + 10 y^{4} + 10 y^{3} \cdot 2^{2} + 10 y^{2} \cdot 2^{3} + 5 y \cdot 2^{4} + 2^{5})]$

Étape 2.2.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{d}{d x} [x (y^{5} + 10 y^{4} + 10 y^{3} \cdot 4 + 10 y^{2} \cdot 2^{3} + 5 y \cdot 2^{4} + 2^{5})]$

Étape 2.2.3

Multipliez $4$ par $10$ .

$\frac{d}{d x} [x (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 10 y^{2} \cdot 2^{3} + 5 y \cdot 2^{4} + 2^{5})]$

Étape 2.2.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{d}{d x} [x (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 10 y^{2} \cdot 8 + 5 y \cdot 2^{4} + 2^{5})]$

Étape 2.2.5

Multipliez $8$ par $10$ .

$\frac{d}{d x} [x (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 5 y \cdot 2^{4} + 2^{5})]$

Étape 2.2.6

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$\frac{d}{d x} [x (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 5 y \cdot 16 + 2^{5})]$

Étape 2.2.7

Multipliez $16$ par $5$ .

$\frac{d}{d x} [x (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 2^{5})]$

Étape 2.2.8

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$\frac{d}{d x} [x (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32)]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32] + (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y^{5}] + \frac{d}{d x} [10 y^{4}] + \frac{d}{d x} [40 y^{3}] + \frac{d}{d x} [80 y^{2}] + \frac{d}{d x} [80 y] + \frac{d}{d x} [32]$ .

$x (\frac{d}{d x} [y^{5}] + \frac{d}{d x} [10 y^{4}] + \frac{d}{d x} [40 y^{3}] + \frac{d}{d x} [80 y^{2}] + \frac{d}{d x} [80 y] + \frac{d}{d x} [32]) + (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $y$ .

$x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [10 y^{4}] + \frac{d}{d x} [40 y^{3}] + \frac{d}{d x} [80 y^{2}] + \frac{d}{d x} [80 y] + \frac{d}{d x} [32]) + (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$x (5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [10 y^{4}] + \frac{d}{d x} [40 y^{3}] + \frac{d}{d x} [80 y^{2}] + \frac{d}{d x} [80 y] + \frac{d}{d x} [32]) + (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y$ .

$x (5 y^{4} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [10 y^{4}] + \frac{d}{d x} [40 y^{3}] + \frac{d}{d x} [80 y^{2}] + \frac{d}{d x} [80 y] + \frac{d}{d x} [32]) + (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.6

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x (5 y^{4} y' + \frac{d}{d x} [10 y^{4}] + \frac{d}{d x} [40 y^{3}] + \frac{d}{d x} [80 y^{2}] + \frac{d}{d x} [80 y] + \frac{d}{d x} [32]) + (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.7

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 y^{4}$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

$x (5 y^{4} y' + 10 \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [40 y^{3}] + \frac{d}{d x} [80 y^{2}] + \frac{d}{d x} [80 y] + \frac{d}{d x} [32]) + (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.8.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$x (5 y^{4} y' + 10 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [40 y^{3}] + \frac{d}{d x} [80 y^{2}] + \frac{d}{d x} [80 y] + \frac{d}{d x} [32]) + (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$x (5 y^{4} y' + 10 (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [40 y^{3}] + \frac{d}{d x} [80 y^{2}] + \frac{d}{d x} [80 y] + \frac{d}{d x} [32]) + (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.8.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$x (5 y^{4} y' + 10 (4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [40 y^{3}] + \frac{d}{d x} [80 y^{2}] + \frac{d}{d x} [80 y] + \frac{d}{d x} [32]) + (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.9

Multipliez $4$ par $10$ .

$x (5 y^{4} y' + 40 (y^{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [40 y^{3}] + \frac{d}{d x} [80 y^{2}] + \frac{d}{d x} [80 y] + \frac{d}{d x} [32]) + (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.10

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x (5 y^{4} y' + 40 y^{3} y' + \frac{d}{d x} [40 y^{3}] + \frac{d}{d x} [80 y^{2}] + \frac{d}{d x} [80 y] + \frac{d}{d x} [32]) + (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.11

Comme $40$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $40 y^{3}$ par rapport à $x$ est $40 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$x (5 y^{4} y' + 40 y^{3} y' + 40 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [80 y^{2}] + \frac{d}{d x} [80 y] + \frac{d}{d x} [32]) + (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.12

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.12.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $y$ .

$x (5 y^{4} y' + 40 y^{3} y' + 40 (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [80 y^{2}] + \frac{d}{d x} [80 y] + \frac{d}{d x} [32]) + (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.12.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ est $n {u_{3}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x (5 y^{4} y' + 40 y^{3} y' + 40 (3 {u_{3}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [80 y^{2}] + \frac{d}{d x} [80 y] + \frac{d}{d x} [32]) + (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.12.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $y$ .

$x (5 y^{4} y' + 40 y^{3} y' + 40 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [80 y^{2}] + \frac{d}{d x} [80 y] + \frac{d}{d x} [32]) + (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.13

Multipliez $3$ par $40$ .

$x (5 y^{4} y' + 40 y^{3} y' + 120 (y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [80 y^{2}] + \frac{d}{d x} [80 y] + \frac{d}{d x} [32]) + (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.14

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x (5 y^{4} y' + 40 y^{3} y' + 120 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [80 y^{2}] + \frac{d}{d x} [80 y] + \frac{d}{d x} [32]) + (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.15

Comme $80$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $80 y^{2}$ par rapport à $x$ est $80 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$x (5 y^{4} y' + 40 y^{3} y' + 120 y^{2} y' + 80 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [80 y] + \frac{d}{d x} [32]) + (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.16

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.16.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{4}$ comme $y$ .

$x (5 y^{4} y' + 40 y^{3} y' + 120 y^{2} y' + 80 (\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [80 y] + \frac{d}{d x} [32]) + (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.16.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{n}]$ est $n {u_{4}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x (5 y^{4} y' + 40 y^{3} y' + 120 y^{2} y' + 80 (2 u_{4} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [80 y] + \frac{d}{d x} [32]) + (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.16.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{4}$ par $y$ .

$x (5 y^{4} y' + 40 y^{3} y' + 120 y^{2} y' + 80 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [80 y] + \frac{d}{d x} [32]) + (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.17

Multipliez $2$ par $80$ .

$x (5 y^{4} y' + 40 y^{3} y' + 120 y^{2} y' + 160 (y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [80 y] + \frac{d}{d x} [32]) + (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.18

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x (5 y^{4} y' + 40 y^{3} y' + 120 y^{2} y' + 160 y y' + \frac{d}{d x} [80 y] + \frac{d}{d x} [32]) + (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.19

Comme $80$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $80 y$ par rapport à $x$ est $80 \frac{d}{d x} [y]$ .

$x (5 y^{4} y' + 40 y^{3} y' + 120 y^{2} y' + 160 y y' + 80 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [32]) + (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.20

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x (5 y^{4} y' + 40 y^{3} y' + 120 y^{2} y' + 160 y y' + 80 y' + \frac{d}{d x} [32]) + (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.21

Comme $32$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $32$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x (5 y^{4} y' + 40 y^{3} y' + 120 y^{2} y' + 160 y y' + 80 y' + 0) + (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.22

Additionnez $5 y^{4} y' + 40 y^{3} y' + 120 y^{2} y' + 160 y y' + 80 y'$ et $0$ .

$x (5 y^{4} y' + 40 y^{3} y' + 120 y^{2} y' + 160 y y' + 80 y') + (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.23

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (5 y^{4} y' + 40 y^{3} y' + 120 y^{2} y' + 160 y y' + 80 y') + (y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32) \cdot 1$

Étape 2.24

Multipliez $y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32$ par $1$ .

$x (5 y^{4} y' + 40 y^{3} y' + 120 y^{2} y' + 160 y y' + 80 y') + y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32$

Étape 2.25

Simplifiez

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Étape 2.25.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (5 y^{4} y') + x (40 y^{3} y') + x (120 y^{2} y') + x (160 y y') + x (80 y') + y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32$

Étape 2.25.2

Associez des termes.

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Étape 2.25.2.1

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$5 \cdot x y^{4} y' + x (40 y^{3} y') + x (120 y^{2} y') + x (160 y y') + x (80 y') + y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32$

Étape 2.25.2.2

Déplacez $40$ à gauche de $x$ .

$5 x y^{4} y' + 40 \cdot x y^{3} y' + x (120 y^{2} y') + x (160 y y') + x (80 y') + y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32$

Étape 2.25.2.3

Déplacez $120$ à gauche de $x$ .

$5 x y^{4} y' + 40 x y^{3} y' + 120 \cdot x y^{2} y' + x (160 y y') + x (80 y') + y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32$

Étape 2.25.2.4

Déplacez $160$ à gauche de $x$ .

$5 x y^{4} y' + 40 x y^{3} y' + 120 x y^{2} y' + 160 \cdot x y y' + x (80 y') + y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32$

Étape 2.25.2.5

Déplacez $80$ à gauche de $x$ .

$5 x y^{4} y' + 40 x y^{3} y' + 120 x y^{2} y' + 160 x y y' + 80 x y' + y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 80 y + 32$

Étape 2.25.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 5 y^{4} x y' + 40 y^{3} x y' + 120 y^{2} x y' + 160 x y y' + 80 x y' + 80 y + 32$

Étape 3

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y^{5} + 10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 5 y^{4} x y' + 40 y^{3} x y' + 120 y^{2} x y' + 160 x y y' + 80 x y' + 80 y + 32 = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $y^{5}$ des deux côtés de l’équation.

$10 y^{4} + 40 y^{3} + 80 y^{2} + 5 y^{4} x y' + 40 y^{3} x y' + 120 y^{2} x y' + 160 x y y' + 80 x y' + 80 y + 32 = - y^{5}$

Étape 5.1.2

Soustrayez $10 y^{4}$ des deux côtés de l’équation.

$40 y^{3} + 80 y^{2} + 5 y^{4} x y' + 40 y^{3} x y' + 120 y^{2} x y' + 160 x y y' + 80 x y' + 80 y + 32 = - y^{5} - 10 y^{4}$

Étape 5.1.3

Soustrayez $40 y^{3}$ des deux côtés de l’équation.

$80 y^{2} + 5 y^{4} x y' + 40 y^{3} x y' + 120 y^{2} x y' + 160 x y y' + 80 x y' + 80 y + 32 = - y^{5} - 10 y^{4} - 40 y^{3}$

Étape 5.1.4

Soustrayez $80 y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$5 y^{4} x y' + 40 y^{3} x y' + 120 y^{2} x y' + 160 x y y' + 80 x y' + 80 y + 32 = - y^{5} - 10 y^{4} - 40 y^{3} - 80 y^{2}$

Étape 5.1.5

Soustrayez $80 y$ des deux côtés de l’équation.

$5 y^{4} x y' + 40 y^{3} x y' + 120 y^{2} x y' + 160 x y y' + 80 x y' + 32 = - y^{5} - 10 y^{4} - 40 y^{3} - 80 y^{2} - 80 y$

Étape 5.1.6

Soustrayez $32$ des deux côtés de l’équation.

$5 y^{4} x y' + 40 y^{3} x y' + 120 y^{2} x y' + 160 x y y' + 80 x y' = - y^{5} - 10 y^{4} - 40 y^{3} - 80 y^{2} - 80 y - 32$

Étape 5.2

Factorisez $5 x y'$ à partir de $5 y^{4} x y' + 40 y^{3} x y' + 120 y^{2} x y' + 160 x y y' + 80 x y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $5 x y'$ à partir de $5 y^{4} x y'$ .

$5 x y' y^{4} + 40 y^{3} x y' + 120 y^{2} x y' + 160 x y y' + 80 x y' = - y^{5} - 10 y^{4} - 40 y^{3} - 80 y^{2} - 80 y - 32$

Étape 5.2.2

Factorisez $5 x y'$ à partir de $40 y^{3} x y'$ .

$5 x y' y^{4} + 5 x y' (8 y^{3}) + 120 y^{2} x y' + 160 x y y' + 80 x y' = - y^{5} - 10 y^{4} - 40 y^{3} - 80 y^{2} - 80 y - 32$

Étape 5.2.3

Factorisez $5 x y'$ à partir de $120 y^{2} x y'$ .

$5 x y' y^{4} + 5 x y' (8 y^{3}) + 5 x y' (24 y^{2}) + 160 x y y' + 80 x y' = - y^{5} - 10 y^{4} - 40 y^{3} - 80 y^{2} - 80 y - 32$

Étape 5.2.4

Factorisez $5 x y'$ à partir de $160 x y y'$ .

$5 x y' y^{4} + 5 x y' (8 y^{3}) + 5 x y' (24 y^{2}) + 5 x y' (32 y) + 80 x y' = - y^{5} - 10 y^{4} - 40 y^{3} - 80 y^{2} - 80 y - 32$

Étape 5.2.5

Factorisez $5 x y'$ à partir de $80 x y'$ .

$5 x y' y^{4} + 5 x y' (8 y^{3}) + 5 x y' (24 y^{2}) + 5 x y' (32 y) + 5 x y' \cdot 16 = - y^{5} - 10 y^{4} - 40 y^{3} - 80 y^{2} - 80 y - 32$

Étape 5.2.6

Factorisez $5 x y'$ à partir de $5 x y' y^{4} + 5 x y' (8 y^{3})$ .

$5 x y' (y^{4} + 8 y^{3}) + 5 x y' (24 y^{2}) + 5 x y' (32 y) + 5 x y' \cdot 16 = - y^{5} - 10 y^{4} - 40 y^{3} - 80 y^{2} - 80 y - 32$

Étape 5.2.7

Factorisez $5 x y'$ à partir de $5 x y' (y^{4} + 8 y^{3}) + 5 x y' (24 y^{2})$ .

$5 x y' (y^{4} + 8 y^{3} + 24 y^{2}) + 5 x y' (32 y) + 5 x y' \cdot 16 = - y^{5} - 10 y^{4} - 40 y^{3} - 80 y^{2} - 80 y - 32$

Étape 5.2.8

Factorisez $5 x y'$ à partir de $5 x y' (y^{4} + 8 y^{3} + 24 y^{2}) + 5 x y' (32 y)$ .

$5 x y' (y^{4} + 8 y^{3} + 24 y^{2} + 32 y) + 5 x y' \cdot 16 = - y^{5} - 10 y^{4} - 40 y^{3} - 80 y^{2} - 80 y - 32$

Étape 5.2.9

Factorisez $5 x y'$ à partir de $5 x y' (y^{4} + 8 y^{3} + 24 y^{2} + 32 y) + 5 x y' \cdot 16$ .

$5 x y' (y^{4} + 8 y^{3} + 24 y^{2} + 32 y + 16) = - y^{5} - 10 y^{4} - 40 y^{3} - 80 y^{2} - 80 y - 32$

Étape 5.3

Faites correspondre chaque terme aux termes de la formule du théorème du binôme.

$5 x y' (y^{4} + 4 \cdot (2 y^{3}) + 6 \cdot (2^{2} y^{2}) + 4 \cdot (2^{3} y) + 2^{4}) = - y^{5} - 10 y^{4} - 40 y^{3} - 80 y^{2} - 80 y - 32$

Étape 5.4

Factorisez $y^{4} + 4 \cdot 2 y^{3} + 6 \cdot 2^{2} y^{2} + 4 \cdot 2^{3} y + 2^{4}$ en utilisant le théorème du binôme.

$5 x y' {(y + 2)}^{4} = - y^{5} - 10 y^{4} - 40 y^{3} - 80 y^{2} - 80 y - 32$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $5 x y' {(y + 2)}^{4} = - y^{5} - 10 y^{4} - 40 y^{3} - 80 y^{2} - 80 y - 32$ par $5 x {(y + 2)}^{4}$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $5 x y' {(y + 2)}^{4} = - y^{5} - 10 y^{4} - 40 y^{3} - 80 y^{2} - 80 y - 32$ par $5 x {(y + 2)}^{4}$ .

$\frac{5 x y' {(y + 2)}^{4}}{5 x {(y + 2)}^{4}} = \frac{- y^{5}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 10 y^{4}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 40 y^{3}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 80 y^{2}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 80 y}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 32}{5 x {(y + 2)}^{4}}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x y' {(y + 2)}^{4}}{x {(y + 2)}^{4}} = \frac{- y^{5}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 10 y^{4}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 40 y^{3}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 80 y^{2}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 80 y}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 32}{5 x {(y + 2)}^{4}}$

Étape 5.5.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.5.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' {(y + 2)}^{4}}{{(y + 2)}^{4}} = \frac{- y^{5}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 10 y^{4}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 40 y^{3}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 80 y^{2}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 80 y}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 32}{5 x {(y + 2)}^{4}}$

Étape 5.5.2.3

Annulez le facteur commun de ${(y + 2)}^{4}$ .

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Étape 5.5.2.3.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.5.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- y^{5}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 10 y^{4}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 40 y^{3}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 80 y^{2}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 80 y}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 32}{5 x {(y + 2)}^{4}}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y^{5}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 10 y^{4}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 40 y^{3}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 80 y^{2}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 80 y}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 32}{5 x {(y + 2)}^{4}}$

Étape 5.5.3.1.2

Annulez le facteur commun à $- 10$ et $5$ .

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Étape 5.5.3.1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $- 10 y^{4}$ .

$y' = - \frac{y^{5}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{5 (- 2 y^{4})}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 40 y^{3}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 80 y^{2}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 80 y}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 32}{5 x {(y + 2)}^{4}}$

Étape 5.5.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.5.3.1.2.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x {(y + 2)}^{4}$ .

$y' = - \frac{y^{5}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{5 (- 2 y^{4})}{5 (x {(y + 2)}^{4})} + \frac{- 40 y^{3}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 80 y^{2}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 80 y}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 32}{5 x {(y + 2)}^{4}}$

Étape 5.5.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

Étape 5.5.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{y^{5}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 2 y^{4}}{x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 40 y^{3}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 80 y^{2}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 80 y}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 32}{5 x {(y + 2)}^{4}}$

Étape 5.5.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y^{5}}{5 x {(y + 2)}^{4}} - \frac{2 y^{4}}{x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 40 y^{3}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 80 y^{2}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 80 y}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 32}{5 x {(y + 2)}^{4}}$

Étape 5.5.3.1.4

Annulez le facteur commun à $- 40$ et $5$ .

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Étape 5.5.3.1.4.1

Factorisez $5$ à partir de $- 40 y^{3}$ .

$y' = - \frac{y^{5}}{5 x {(y + 2)}^{4}} - \frac{2 y^{4}}{x {(y + 2)}^{4}} + \frac{5 (- 8 y^{3})}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 80 y^{2}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 80 y}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 32}{5 x {(y + 2)}^{4}}$

Étape 5.5.3.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.5.3.1.4.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x {(y + 2)}^{4}$ .

$y' = - \frac{y^{5}}{5 x {(y + 2)}^{4}} - \frac{2 y^{4}}{x {(y + 2)}^{4}} + \frac{5 (- 8 y^{3})}{5 (x {(y + 2)}^{4})} + \frac{- 80 y^{2}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 80 y}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 32}{5 x {(y + 2)}^{4}}$

Étape 5.5.3.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

Étape 5.5.3.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{y^{5}}{5 x {(y + 2)}^{4}} - \frac{2 y^{4}}{x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 8 y^{3}}{x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 80 y^{2}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 80 y}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 32}{5 x {(y + 2)}^{4}}$

Étape 5.5.3.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y^{5}}{5 x {(y + 2)}^{4}} - \frac{2 y^{4}}{x {(y + 2)}^{4}} - \frac{8 y^{3}}{x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 80 y^{2}}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 80 y}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 32}{5 x {(y + 2)}^{4}}$

Étape 5.5.3.1.6

Annulez le facteur commun à $- 80$ et $5$ .

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Étape 5.5.3.1.6.1

Factorisez $5$ à partir de $- 80 y^{2}$ .

$y' = - \frac{y^{5}}{5 x {(y + 2)}^{4}} - \frac{2 y^{4}}{x {(y + 2)}^{4}} - \frac{8 y^{3}}{x {(y + 2)}^{4}} + \frac{5 (- 16 y^{2})}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 80 y}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 32}{5 x {(y + 2)}^{4}}$

Étape 5.5.3.1.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.5.3.1.6.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x {(y + 2)}^{4}$ .

$y' = - \frac{y^{5}}{5 x {(y + 2)}^{4}} - \frac{2 y^{4}}{x {(y + 2)}^{4}} - \frac{8 y^{3}}{x {(y + 2)}^{4}} + \frac{5 (- 16 y^{2})}{5 (x {(y + 2)}^{4})} + \frac{- 80 y}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 32}{5 x {(y + 2)}^{4}}$

Étape 5.5.3.1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

Étape 5.5.3.1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{y^{5}}{5 x {(y + 2)}^{4}} - \frac{2 y^{4}}{x {(y + 2)}^{4}} - \frac{8 y^{3}}{x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 16 y^{2}}{x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 80 y}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 32}{5 x {(y + 2)}^{4}}$

Étape 5.5.3.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y^{5}}{5 x {(y + 2)}^{4}} - \frac{2 y^{4}}{x {(y + 2)}^{4}} - \frac{8 y^{3}}{x {(y + 2)}^{4}} - \frac{16 y^{2}}{x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 80 y}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 32}{5 x {(y + 2)}^{4}}$

Étape 5.5.3.1.8

Annulez le facteur commun à $- 80$ et $5$ .

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Étape 5.5.3.1.8.1

Factorisez $5$ à partir de $- 80 y$ .

$y' = - \frac{y^{5}}{5 x {(y + 2)}^{4}} - \frac{2 y^{4}}{x {(y + 2)}^{4}} - \frac{8 y^{3}}{x {(y + 2)}^{4}} - \frac{16 y^{2}}{x {(y + 2)}^{4}} + \frac{5 (- 16 y)}{5 x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 32}{5 x {(y + 2)}^{4}}$

Étape 5.5.3.1.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.5.3.1.8.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x {(y + 2)}^{4}$ .

$y' = - \frac{y^{5}}{5 x {(y + 2)}^{4}} - \frac{2 y^{4}}{x {(y + 2)}^{4}} - \frac{8 y^{3}}{x {(y + 2)}^{4}} - \frac{16 y^{2}}{x {(y + 2)}^{4}} + \frac{5 (- 16 y)}{5 (x {(y + 2)}^{4})} + \frac{- 32}{5 x {(y + 2)}^{4}}$

Étape 5.5.3.1.8.2.2

Annulez le facteur commun.

Étape 5.5.3.1.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{y^{5}}{5 x {(y + 2)}^{4}} - \frac{2 y^{4}}{x {(y + 2)}^{4}} - \frac{8 y^{3}}{x {(y + 2)}^{4}} - \frac{16 y^{2}}{x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 16 y}{x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 32}{5 x {(y + 2)}^{4}}$

Étape 5.5.3.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y^{5}}{5 x {(y + 2)}^{4}} - \frac{2 y^{4}}{x {(y + 2)}^{4}} - \frac{8 y^{3}}{x {(y + 2)}^{4}} - \frac{16 y^{2}}{x {(y + 2)}^{4}} - \frac{16 y}{x {(y + 2)}^{4}} + \frac{- 32}{5 x {(y + 2)}^{4}}$

Étape 5.5.3.1.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y^{5}}{5 x {(y + 2)}^{4}} - \frac{2 y^{4}}{x {(y + 2)}^{4}} - \frac{8 y^{3}}{x {(y + 2)}^{4}} - \frac{16 y^{2}}{x {(y + 2)}^{4}} - \frac{16 y}{x {(y + 2)}^{4}} - \frac{32}{5 x {(y + 2)}^{4}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{5}}{5 x {(y + 2)}^{4}} - \frac{2 y^{4}}{x {(y + 2)}^{4}} - \frac{8 y^{3}}{x {(y + 2)}^{4}} - \frac{16 y^{2}}{x {(y + 2)}^{4}} - \frac{16 y}{x {(y + 2)}^{4}} - \frac{32}{5 x {(y + 2)}^{4}}$