Calcul infinitésimal Exemples

$\tan (x y) = 5 x + 6 y$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\tan (x y)) = \frac{d}{d x} (5 x + 6 y)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = x y$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\tan (u)$ par rapport à $u$ est $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x y$ .

$\sec^{2} (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$\sec^{2} (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\sec^{2} (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\sec^{2} (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Étape 2.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$\sec^{2} (x y) (x y' + y)$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sec^{2} (x y) (x y') + \sec^{2} (x y) y$

Étape 2.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$x \sec^{2} (x y) y' + y \sec^{2} (x y)$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x + 6 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [6 y]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [6 y]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 y]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6 y]$

Étape 3.2.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [6 y]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 y]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 y$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [y]$ .

$5 + 6 \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$5 + 6 y'$

Étape 3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$6 y' + 5$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$x \sec^{2} (x y) y' + y \sec^{2} (x y) = 6 y' + 5$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x \sec^{2} (x y) y' + y \sec^{2} (x y)$ .

$x y' \sec^{2} (x y) + y \sec^{2} (x y) = 6 y' + 5$

Étape 5.2

Soustrayez $6 y'$ des deux côtés de l’équation.

$x y' \sec^{2} (x y) + y \sec^{2} (x y) - 6 y' = 5$

Étape 5.3

Soustrayez $y \sec^{2} (x y)$ des deux côtés de l’équation.

$x y' \sec^{2} (x y) - 6 y' = 5 - y \sec^{2} (x y)$

Étape 5.4

Factorisez $y'$ à partir de $x y' \sec^{2} (x y) - 6 y'$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $y'$ à partir de $x y' \sec^{2} (x y)$ .

$y' (x \sec^{2} (x y)) - 6 y' = 5 - y \sec^{2} (x y)$

Étape 5.4.2

Factorisez $y'$ à partir de $- 6 y'$ .

$y' (x \sec^{2} (x y)) + y' \cdot - 6 = 5 - y \sec^{2} (x y)$

Étape 5.4.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (x \sec^{2} (x y)) + y' \cdot - 6$ .

$y' (x \sec^{2} (x y) - 6) = 5 - y \sec^{2} (x y)$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $y' (x \sec^{2} (x y) - 6) = 5 - y \sec^{2} (x y)$ par $x \sec^{2} (x y) - 6$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $y' (x \sec^{2} (x y) - 6) = 5 - y \sec^{2} (x y)$ par $x \sec^{2} (x y) - 6$ .

$\frac{y' (x \sec^{2} (x y) - 6)}{x \sec^{2} (x y) - 6} = \frac{5}{x \sec^{2} (x y) - 6} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y) - 6}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $x \sec^{2} (x y) - 6$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (x \sec^{2} (x y) - 6)}{x \sec^{2} (x y) - 6} = \frac{5}{x \sec^{2} (x y) - 6} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y) - 6}$

Étape 5.5.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{5}{x \sec^{2} (x y) - 6} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y) - 6}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{5}{x \sec^{2} (x y) - 6} - \frac{y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y) - 6}$

Étape 5.5.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{5 - y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y) - 6}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 - y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y) - 6}$