Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (x) y + 5 x = 30$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\ln (x) y + 5 x) = \frac{d}{d x} (30)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\ln (x) y + 5 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\ln (x) y] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x) y] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\ln (x) y]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = y$ .

$\ln (x) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\ln (x) y' + y \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 2.2.3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\ln (x) y' + y \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 2.2.4

Associez $y$ et $\frac{1}{x}$ .

$\ln (x) y' + \frac{y}{x} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\ln (x) y' + \frac{y}{x} + 5 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\ln (x) y' + \frac{y}{x} + 5 \cdot 1$

Étape 2.3.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$\ln (x) y' + \frac{y}{x} + 5$

Étape 3

Comme $30$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $30$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\ln (x) y' + \frac{y}{x} + 5 = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln (x) y' + \frac{y}{x} + 5$ .

$y' \ln (x) + \frac{y}{x} + 5 = 0$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $\frac{y}{x}$ des deux côtés de l’équation.

$y' \ln (x) + 5 = - \frac{y}{x}$

Étape 5.2.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$y' \ln (x) = - \frac{y}{x} - 5$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $y' \ln (x) = - \frac{y}{x} - 5$ par $\ln (x)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $y' \ln (x) = - \frac{y}{x} - 5$ par $\ln (x)$ .

$\frac{y' \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{- \frac{y}{x}}{\ln (x)} + \frac{- 5}{\ln (x)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (x)$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{- \frac{y}{x}}{\ln (x)} + \frac{- 5}{\ln (x)}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- \frac{y}{x}}{\ln (x)} + \frac{- 5}{\ln (x)}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y' = - \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{\ln (x)} + \frac{- 5}{\ln (x)}$

Étape 5.3.3.1.2

Multipliez $\frac{1}{\ln (x)}$ par $\frac{y}{x}$ .

$y' = - \frac{y}{\ln (x) x} + \frac{- 5}{\ln (x)}$

Étape 5.3.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y}{\ln (x) x} - \frac{5}{\ln (x)}$

Étape 5.3.3.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{y}{\ln (x) x} - \frac{5}{\ln (x)}$ .

$y' = - \frac{y}{x \ln (x)} - \frac{5}{\ln (x)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x \ln (x)} - \frac{5}{\ln (x)}$