Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (x y) = e^{2 x}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\ln (x y)) = \frac{d}{d x} (e^{2 x})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x y$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x y$ .

$\frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$\frac{1}{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y \cdot 1)$

Étape 2.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y)$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{x y} (x y') + \frac{1}{x y} y$

Étape 2.6.2

Associez des termes.

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Étape 2.6.2.1

Associez $x$ et $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{x}{x y} y' + \frac{1}{x y} y$

Étape 2.6.2.2

Associez $\frac{x}{x y}$ et $y'$ .

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

Étape 2.6.2.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.6.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

Étape 2.6.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x y} y$

Étape 2.6.2.4

Associez $\frac{1}{x y}$ et $y$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

Étape 2.6.2.5

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 2.6.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

Étape 2.6.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Étape 3.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2$

Étape 3.2.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = 2 e^{2 x}$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $\frac{1}{x}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y'}{y} = 2 e^{2 x} - \frac{1}{x}$

Étape 5.2

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$\frac{y'}{y} y = (2 e^{2 x} - \frac{1}{x}) y$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.1.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y'}{y} y = (2 e^{2 x} - \frac{1}{x}) y$

Étape 5.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y' = (2 e^{2 x} - \frac{1}{x}) y$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.1

Simplifiez $(2 e^{2 x} - \frac{1}{x}) y$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y' = 2 e^{2 x} y - \frac{1}{x} y$

Étape 5.3.2.1.2

Associez $y$ et $\frac{1}{x}$ .

$y' = 2 e^{2 x} y - \frac{y}{x}$

Étape 5.3.2.1.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 e^{2 x} y - \frac{y}{x}$ .

$y' = 2 y e^{2 x} - \frac{y}{x}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 y e^{2 x} - \frac{y}{x}$