Calcul infinitésimal Exemples

$7 \cos (7 x) \sin (5 y) = 3$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (7 \cos (7 x) \sin (5 y)) = \frac{d}{d x} (3)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 \cos (7 x) \sin (5 y)$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [\cos (7 x) \sin (5 y)]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\cos (7 x) \sin (5 y)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \cos (7 x)$ et $g (x) = \sin (5 y)$ .

$7 (\cos (7 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 y)] + \sin (5 y) \frac{d}{d x} [\cos (7 x)])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 5 y$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $5 y$ .

$7 (\cos (7 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 y]) + \sin (5 y) \frac{d}{d x} [\cos (7 x)])$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$7 (\cos (7 x) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 y]) + \sin (5 y) \frac{d}{d x} [\cos (7 x)])$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $5 y$ .

$7 (\cos (7 x) (\cos (5 y) \frac{d}{d x} [5 y]) + \sin (5 y) \frac{d}{d x} [\cos (7 x)])$

Étape 2.4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 y$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$7 (\cos (7 x) \cos (5 y) (5 \frac{d}{d x} [y]) + \sin (5 y) \frac{d}{d x} [\cos (7 x)])$

Étape 2.5

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$7 (\cos (7 x) \cos (5 y) (5 y') + \sin (5 y) \frac{d}{d x} [\cos (7 x)])$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 7 x$ .

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Étape 2.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $7 x$ .

$7 (\cos (7 x) \cos (5 y) (5 y') + \sin (5 y) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [7 x]))$

Étape 2.6.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$7 (\cos (7 x) \cos (5 y) (5 y') + \sin (5 y) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [7 x]))$

Étape 2.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $7 x$ .

$7 (\cos (7 x) \cos (5 y) (5 y') + \sin (5 y) (- \sin (7 x) \frac{d}{d x} [7 x]))$

Étape 2.7

Différenciez.

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Étape 2.7.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 (\cos (7 x) \cos (5 y) (5 y') + \sin (5 y) (- \sin (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x])))$

Étape 2.7.2

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$7 (\cos (7 x) \cos (5 y) (5 y') + \sin (5 y) (- 7 \sin (7 x) \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 2.7.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$7 (\cos (7 x) \cos (5 y) (5 y') + \sin (5 y) (- 7 \sin (7 x) \cdot 1))$

Étape 2.7.4

Multipliez $- 7$ par $1$ .

$7 (\cos (7 x) \cos (5 y) (5 y') + \sin (5 y) (- 7 \sin (7 x)))$

Étape 2.8

Simplifiez

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Étape 2.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$7 (\cos (7 x) \cos (5 y) (5 y')) + 7 (\sin (5 y) (- 7 \sin (7 x)))$

Étape 2.8.2

Associez des termes.

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Étape 2.8.2.1

Multipliez $5$ par $7$ .

$35 (\cos (7 x) \cos (5 y) (y')) + 7 (\sin (5 y) (- 7 \sin (7 x)))$

Étape 2.8.2.2

Multipliez $- 7$ par $7$ .

$35 \cos (7 x) \cos (5 y) y' - 49 \sin (5 y) \sin (7 x)$

Étape 2.8.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$35 \cos (5 y) \cos (7 x) y' - 49 \sin (5 y) \sin (7 x)$

Étape 3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$35 \cos (5 y) \cos (7 x) y' - 49 \sin (5 y) \sin (7 x) = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $35 \cos (5 y) \cos (7 x) y' - 49 \sin (5 y) \sin (7 x)$ .

$35 y' \cos (5 y) \cos (7 x) - 49 \sin (5 y) \sin (7 x) = 0$

Étape 5.2

Ajoutez $49 \sin (5 y) \sin (7 x)$ aux deux côtés de l’équation.

$35 y' \cos (5 y) \cos (7 x) = 49 \sin (5 y) \sin (7 x)$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $35 y' \cos (5 y) \cos (7 x) = 49 \sin (5 y) \sin (7 x)$ par $35 \cos (5 y) \cos (7 x)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $35 y' \cos (5 y) \cos (7 x) = 49 \sin (5 y) \sin (7 x)$ par $35 \cos (5 y) \cos (7 x)$ .

$\frac{35 y' \cos (5 y) \cos (7 x)}{35 \cos (5 y) \cos (7 x)} = \frac{49 \sin (5 y) \sin (7 x)}{35 \cos (5 y) \cos (7 x)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $35$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{35 y' \cos (5 y) \cos (7 x)}{35 \cos (5 y) \cos (7 x)} = \frac{49 \sin (5 y) \sin (7 x)}{35 \cos (5 y) \cos (7 x)}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' \cos (5 y) \cos (7 x)}{\cos (5 y) \cos (7 x)} = \frac{49 \sin (5 y) \sin (7 x)}{35 \cos (5 y) \cos (7 x)}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $\cos (5 y)$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' \cos (5 y) \cos (7 x)}{\cos (5 y) \cos (7 x)} = \frac{49 \sin (5 y) \sin (7 x)}{35 \cos (5 y) \cos (7 x)}$

Étape 5.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' \cos (7 x)}{\cos (7 x)} = \frac{49 \sin (5 y) \sin (7 x)}{35 \cos (5 y) \cos (7 x)}$

Étape 5.3.2.3

Annulez le facteur commun de $\cos (7 x)$ .

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Étape 5.3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' \cos (7 x)}{\cos (7 x)} = \frac{49 \sin (5 y) \sin (7 x)}{35 \cos (5 y) \cos (7 x)}$

Étape 5.3.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{49 \sin (5 y) \sin (7 x)}{35 \cos (5 y) \cos (7 x)}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Annulez le facteur commun à $49$ et $35$ .

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Étape 5.3.3.1.1

Factorisez $7$ à partir de $49 \sin (5 y) \sin (7 x)$ .

$y' = \frac{7 (7 \sin (5 y) \sin (7 x))}{35 \cos (5 y) \cos (7 x)}$

Étape 5.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.2.1

Factorisez $7$ à partir de $35 \cos (5 y) \cos (7 x)$ .

$y' = \frac{7 (7 \sin (5 y) \sin (7 x))}{7 (5 \cos (5 y) \cos (7 x))}$

Étape 5.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{7 (7 \sin (5 y) \sin (7 x))}{7 (5 \cos (5 y) \cos (7 x))}$

Étape 5.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{7 \sin (5 y) \sin (7 x)}{5 \cos (5 y) \cos (7 x)}$

Étape 5.3.3.2

Séparez les fractions.

$y' = \frac{7 \sin (7 x)}{5 \cos (7 x)} \cdot \frac{\sin (5 y)}{\cos (5 y)}$

Étape 5.3.3.3

Convertissez de $\frac{\sin (5 y)}{\cos (5 y)}$ à $\tan (5 y)$ .

$y' = \frac{7 \sin (7 x)}{5 \cos (7 x)} \tan (5 y)$

Étape 5.3.3.4

Séparez les fractions.

$y' = \frac{7}{5} \cdot \frac{\sin (7 x)}{\cos (7 x)} \tan (5 y)$

Étape 5.3.3.5

Convertissez de $\frac{\sin (7 x)}{\cos (7 x)}$ à $\tan (7 x)$ .

$y' = \frac{7}{5} \tan (7 x) \tan (5 y)$

Étape 5.3.3.6

Associez $\frac{7}{5}$ et $\tan (7 x)$ .

$y' = \frac{7 \tan (7 x)}{5} \tan (5 y)$

Étape 5.3.3.7

Associez $\frac{7 \tan (7 x)}{5}$ et $\tan (5 y)$ .

$y' = \frac{7 \tan (7 x) \tan (5 y)}{5}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 \tan (7 x) \tan (5 y)}{5}$