Calcul infinitésimal Exemples

$x \ln (y) + 2 y = 2 x^{3}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x \ln (y) + 2 y) = \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x \ln (y) + 2 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x \ln (y)] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x \ln (y)] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x \ln (y)]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \ln (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (y)] + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.2.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$x (\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x (\frac{1}{y} y') + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (\frac{1}{y} y') + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.2.5

Associez $\frac{1}{y}$ et $y'$ .

$x \frac{y'}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.2.6

Associez $x$ et $\frac{y'}{y}$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.2.7

Multipliez $\ln (y)$ par $1$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 y]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + 2 \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + 2 y'$

Étape 2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y)$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 (3 x^{2})$

Étape 3.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 x^{2}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) = 6 x^{2}$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 5.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, y, 1, 1$

Étape 5.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y$

Étape 5.2

Multiplier chaque terme dans $2 y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) = 6 x^{2}$ par $y$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.2.1

Multipliez chaque terme dans $2 y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) = 6 x^{2}$ par $y$ .

$2 y' y + \frac{x y'}{y} y + \ln (y) y = 6 x^{2} y$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 y' y + \frac{x y'}{y} y + \ln (y) y = 6 x^{2} y$

Étape 5.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 y' y + x y' + \ln (y) y = 6 x^{2} y$

Étape 5.2.2.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 y' y + x y' + \ln (y) y$ .

$2 y' y + x y' + y \ln (y) = 6 x^{2} y$

Étape 5.3

Résolvez l’équation.

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Étape 5.3.1

Soustrayez $y \ln (y)$ des deux côtés de l’équation.

$2 y' y + x y' = 6 x^{2} y - y \ln (y)$

Étape 5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $2 y' y + x y'$ .

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Étape 5.3.2.1

Factorisez $y'$ à partir de $2 y' y$ .

$y' (2 y) + x (y') = 6 x^{2} y - y \ln (y)$

Étape 5.3.2.2

Factorisez $y'$ à partir de $x y'$ .

$y' (2 y) + y' (x) = 6 x^{2} y - y \ln (y)$

Étape 5.3.2.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (2 y) + y' (x)$ .

$y' (2 y + x) = 6 x^{2} y - y \ln (y)$

Étape 5.3.3

Divisez chaque terme dans $y' (2 y + x) = 6 x^{2} y - y \ln (y)$ par $2 y + x$ et simplifiez.

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Étape 5.3.3.1

Divisez chaque terme dans $y' (2 y + x) = 6 x^{2} y - y \ln (y)$ par $2 y + x$ .

$\frac{y' (2 y + x)}{2 y + x} = \frac{6 x^{2} y}{2 y + x} + \frac{- y \ln (y)}{2 y + x}$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2 y + x$ .

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Étape 5.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (2 y + x)}{2 y + x} = \frac{6 x^{2} y}{2 y + x} + \frac{- y \ln (y)}{2 y + x}$

Étape 5.3.3.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{6 x^{2} y}{2 y + x} + \frac{- y \ln (y)}{2 y + x}$

Étape 5.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{6 x^{2} y - y \ln (y)}{2 y + x}$

Étape 5.3.3.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.3.2.1

Factorisez $y$ à partir de $6 x^{2} y - y \ln (y)$ .

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Étape 5.3.3.3.2.1.1

Factorisez $y$ à partir de $6 x^{2} y$ .

$y' = \frac{y (6 x^{2}) - y \ln (y)}{2 y + x}$

Étape 5.3.3.3.2.1.2

Factorisez $y$ à partir de $- y \ln (y)$ .

$y' = \frac{y (6 x^{2}) + y (- 1 \ln (y))}{2 y + x}$

Étape 5.3.3.3.2.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y (6 x^{2}) + y (- 1 \ln (y))$ .

$y' = \frac{y (6 x^{2} - 1 \ln (y))}{2 y + x}$

Étape 5.3.3.3.2.2

Réécrivez $- 1 \ln (y)$ comme $- \ln (y)$ .

$y' = \frac{y (6 x^{2} - \ln (y))}{2 y + x}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (6 x^{2} - \ln (y))}{2 y + x}$