Calcul infinitésimal Exemples

$x y^{3} + x^{2} y^{2} + 3 x^{2} - 6 = 1$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x y^{3} + x^{2} y^{2} + 3 x^{2} - 6) = \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x y^{3} + x^{2} y^{2} + 3 x^{2} - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y^{3}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $y$ .

$x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y$ .

$x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (3 y^{2} y') + y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 2.2.5

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$3 \cdot x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 2.2.6

Multipliez $y^{3}$ par $1$ .

$3 x y^{2} y' + y^{3} + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y^{2}$ .

$3 x y^{2} y' + y^{3} + x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$3 x y^{2} y' + y^{3} + x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x y^{2} y' + y^{3} + x^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$3 x y^{2} y' + y^{3} + x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 x y^{2} y' + y^{3} + x^{2} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x y^{2} y' + y^{3} + x^{2} (2 y y') + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 2.3.5

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$3 x y^{2} y' + y^{3} + 2 \cdot x^{2} y y' + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 2.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $y^{2}$ .

$3 x y^{2} y' + y^{3} + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x y^{2} y' + y^{3} + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x y^{2} y' + y^{3} + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 2.4.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$3 x y^{2} y' + y^{3} + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + 6 x + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 2.5

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x y^{2} y' + y^{3} + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + 6 x + 0$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Additionnez $3 x y^{2} y' + y^{3} + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + 6 x$ et $0$ .

$3 x y^{2} y' + y^{3} + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + 6 x$

Étape 2.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$y^{3} + 3 y^{2} x y' + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + 6 x$

Étape 3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y^{3} + 3 y^{2} x y' + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + 6 x = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $y^{3}$ des deux côtés de l’équation.

$3 y^{2} x y' + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + 6 x = - y^{3}$

Étape 5.1.2

Soustrayez $2 y^{2} x$ des deux côtés de l’équation.

$3 y^{2} x y' + 2 x^{2} y y' + 6 x = - y^{3} - 2 y^{2} x$

Étape 5.1.3

Soustrayez $6 x$ des deux côtés de l’équation.

$3 y^{2} x y' + 2 x^{2} y y' = - y^{3} - 2 y^{2} x - 6 x$

Étape 5.2

Factorisez $y x y'$ à partir de $3 y^{2} x y' + 2 x^{2} y y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $y x y'$ à partir de $3 y^{2} x y'$ .

$y x y' (3 y) + 2 x^{2} y y' = - y^{3} - 2 y^{2} x - 6 x$

Étape 5.2.2

Factorisez $y x y'$ à partir de $2 x^{2} y y'$ .

$y x y' (3 y) + y x y' (2 x) = - y^{3} - 2 y^{2} x - 6 x$

Étape 5.2.3

Factorisez $y x y'$ à partir de $y x y' (3 y) + y x y' (2 x)$ .

$y x y' (3 y + 2 x) = - y^{3} - 2 y^{2} x - 6 x$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $y x y' (3 y + 2 x) = - y^{3} - 2 y^{2} x - 6 x$ par $y x (3 y + 2 x)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $y x y' (3 y + 2 x) = - y^{3} - 2 y^{2} x - 6 x$ par $y x (3 y + 2 x)$ .

$\frac{y x y' (3 y + 2 x)}{y x (3 y + 2 x)} = \frac{- y^{3}}{y x (3 y + 2 x)} + \frac{- 2 y^{2} x}{y x (3 y + 2 x)} + \frac{- 6 x}{y x (3 y + 2 x)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y x y' (3 y + 2 x)}{y x (3 y + 2 x)} = \frac{- y^{3}}{y x (3 y + 2 x)} + \frac{- 2 y^{2} x}{y x (3 y + 2 x)} + \frac{- 6 x}{y x (3 y + 2 x)}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x y' (3 y + 2 x)}{x (3 y + 2 x)} = \frac{- y^{3}}{y x (3 y + 2 x)} + \frac{- 2 y^{2} x}{y x (3 y + 2 x)} + \frac{- 6 x}{y x (3 y + 2 x)}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y' (3 y + 2 x)}{x (3 y + 2 x)} = \frac{- y^{3}}{y x (3 y + 2 x)} + \frac{- 2 y^{2} x}{y x (3 y + 2 x)} + \frac{- 6 x}{y x (3 y + 2 x)}$

Étape 5.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (3 y + 2 x)}{3 y + 2 x} = \frac{- y^{3}}{y x (3 y + 2 x)} + \frac{- 2 y^{2} x}{y x (3 y + 2 x)} + \frac{- 6 x}{y x (3 y + 2 x)}$

Étape 5.3.2.3

Annulez le facteur commun de $3 y + 2 x$ .

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Étape 5.3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (3 y + 2 x)}{3 y + 2 x} = \frac{- y^{3}}{y x (3 y + 2 x)} + \frac{- 2 y^{2} x}{y x (3 y + 2 x)} + \frac{- 6 x}{y x (3 y + 2 x)}$

Étape 5.3.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- y^{3}}{y x (3 y + 2 x)} + \frac{- 2 y^{2} x}{y x (3 y + 2 x)} + \frac{- 6 x}{y x (3 y + 2 x)}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun à $y^{3}$ et $y$ .

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Étape 5.3.3.1.1.1

Factorisez $y$ à partir de $- y^{3}$ .

$y' = \frac{y (- y^{2})}{y x (3 y + 2 x)} + \frac{- 2 y^{2} x}{y x (3 y + 2 x)} + \frac{- 6 x}{y x (3 y + 2 x)}$

Étape 5.3.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y x (3 y + 2 x)$ .

$y' = \frac{y (- y^{2})}{y (x (3 y + 2 x))} + \frac{- 2 y^{2} x}{y x (3 y + 2 x)} + \frac{- 6 x}{y x (3 y + 2 x)}$

Étape 5.3.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{y (- y^{2})}{y (x (3 y + 2 x))} + \frac{- 2 y^{2} x}{y x (3 y + 2 x)} + \frac{- 6 x}{y x (3 y + 2 x)}$

Étape 5.3.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- y^{2}}{x (3 y + 2 x)} + \frac{- 2 y^{2} x}{y x (3 y + 2 x)} + \frac{- 6 x}{y x (3 y + 2 x)}$

Étape 5.3.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (3 y + 2 x)} + \frac{- 2 y^{2} x}{y x (3 y + 2 x)} + \frac{- 6 x}{y x (3 y + 2 x)}$

Étape 5.3.3.1.3

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

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Étape 5.3.3.1.3.1

Factorisez $y$ à partir de $- 2 y^{2} x$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (3 y + 2 x)} + \frac{y (- 2 y x)}{y x (3 y + 2 x)} + \frac{- 6 x}{y x (3 y + 2 x)}$

Étape 5.3.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.3.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y x (3 y + 2 x)$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (3 y + 2 x)} + \frac{y (- 2 y x)}{y (x (3 y + 2 x))} + \frac{- 6 x}{y x (3 y + 2 x)}$

Étape 5.3.3.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (3 y + 2 x)} + \frac{y (- 2 y x)}{y (x (3 y + 2 x))} + \frac{- 6 x}{y x (3 y + 2 x)}$

Étape 5.3.3.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (3 y + 2 x)} + \frac{- 2 y x}{x (3 y + 2 x)} + \frac{- 6 x}{y x (3 y + 2 x)}$

Étape 5.3.3.1.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.3.3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (3 y + 2 x)} + \frac{- 2 y x}{x (3 y + 2 x)} + \frac{- 6 x}{y x (3 y + 2 x)}$

Étape 5.3.3.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (3 y + 2 x)} + \frac{- 2 y}{3 y + 2 x} + \frac{- 6 x}{y x (3 y + 2 x)}$

Étape 5.3.3.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (3 y + 2 x)} - \frac{2 y}{3 y + 2 x} + \frac{- 6 x}{y x (3 y + 2 x)}$

Étape 5.3.3.1.6

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.3.3.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (3 y + 2 x)} - \frac{2 y}{3 y + 2 x} + \frac{- 6 x}{y x (3 y + 2 x)}$

Étape 5.3.3.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (3 y + 2 x)} - \frac{2 y}{3 y + 2 x} + \frac{- 6}{y (3 y + 2 x)}$

Étape 5.3.3.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (3 y + 2 x)} - \frac{2 y}{3 y + 2 x} - \frac{6}{y (3 y + 2 x)}$

Étape 5.3.3.2

Pour écrire $- \frac{2 y}{3 y + 2 x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (3 y + 2 x)} - \frac{2 y}{3 y + 2 x} \cdot \frac{x}{x} - \frac{6}{y (3 y + 2 x)}$

Étape 5.3.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x (3 y + 2 x)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Multipliez $\frac{2 y}{3 y + 2 x}$ par $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (3 y + 2 x)} - \frac{2 y x}{(3 y + 2 x) x} - \frac{6}{y (3 y + 2 x)}$

Étape 5.3.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $(3 y + 2 x) x$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (3 y + 2 x)} - \frac{2 y x}{x (3 y + 2 x)} - \frac{6}{y (3 y + 2 x)}$

Étape 5.3.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- y^{2} - 2 y x}{x (3 y + 2 x)} - \frac{6}{y (3 y + 2 x)}$

Étape 5.3.3.5

Factorisez $y$ à partir de $- y^{2} - 2 y x$ .

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Étape 5.3.3.5.1

Factorisez $y$ à partir de $- y^{2}$ .

$y' = \frac{y (- y) - 2 y x}{x (3 y + 2 x)} - \frac{6}{y (3 y + 2 x)}$

Étape 5.3.3.5.2

Factorisez $y$ à partir de $- 2 y x$ .

$y' = \frac{y (- y) + y (- 2 x)}{x (3 y + 2 x)} - \frac{6}{y (3 y + 2 x)}$

Étape 5.3.3.5.3

Factorisez $y$ à partir de $y (- y) + y (- 2 x)$ .

$y' = \frac{y (- y - 2 x)}{x (3 y + 2 x)} - \frac{6}{y (3 y + 2 x)}$

Étape 5.3.3.6

Pour écrire $\frac{y (- y - 2 x)}{x (3 y + 2 x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{y (- y - 2 x)}{x (3 y + 2 x)} \cdot \frac{y}{y} - \frac{6}{y (3 y + 2 x)}$

Étape 5.3.3.7

Pour écrire $- \frac{6}{y (3 y + 2 x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y (- y - 2 x)}{x (3 y + 2 x)} \cdot \frac{y}{y} - \frac{6}{y (3 y + 2 x)} \cdot \frac{x}{x}$

Étape 5.3.3.8

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x (3 y + 2 x) y$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.3.3.8.1

Multipliez $\frac{y (- y - 2 x)}{x (3 y + 2 x)}$ par $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{y (- y - 2 x) y}{x (3 y + 2 x) y} - \frac{6}{y (3 y + 2 x)} \cdot \frac{x}{x}$

Étape 5.3.3.8.2

Multipliez $\frac{6}{y (3 y + 2 x)}$ par $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y (- y - 2 x) y}{x (3 y + 2 x) y} - \frac{6 x}{y (3 y + 2 x) x}$

Étape 5.3.3.8.3

Réorganisez les facteurs de $x (3 y + 2 x) y$ .

$y' = \frac{y (- y - 2 x) y}{x y (3 y + 2 x)} - \frac{6 x}{y (3 y + 2 x) x}$

Étape 5.3.3.8.4

Réorganisez les facteurs de $y (3 y + 2 x) x$ .

$y' = \frac{y (- y - 2 x) y}{x y (3 y + 2 x)} - \frac{6 x}{x y (3 y + 2 x)}$

Étape 5.3.3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{y (- y - 2 x) y - 6 x}{x y (3 y + 2 x)}$

Étape 5.3.3.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.10.1

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.3.10.1.1

Déplacez $y$ .

$y' = \frac{y \cdot y (- y - 2 x) - 6 x}{x y (3 y + 2 x)}$

Étape 5.3.3.10.1.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$y' = \frac{y^{2} (- y - 2 x) - 6 x}{x y (3 y + 2 x)}$

Étape 5.3.3.10.2

Appliquez la propriété distributive.

$y' = \frac{y^{2} (- y) + y^{2} (- 2 x) - 6 x}{x y (3 y + 2 x)}$

Étape 5.3.3.10.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' = \frac{- y^{2} y + y^{2} (- 2 x) - 6 x}{x y (3 y + 2 x)}$

Étape 5.3.3.10.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' = \frac{- y^{2} y - 2 y^{2} x - 6 x}{x y (3 y + 2 x)}$

Étape 5.3.3.10.5

Multipliez $y^{2}$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.3.10.5.1

Déplacez $y$ .

$y' = \frac{- (y \cdot y^{2}) - 2 y^{2} x - 6 x}{x y (3 y + 2 x)}$

Étape 5.3.3.10.5.2

Multipliez $y$ par $y^{2}$ .

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Étape 5.3.3.10.5.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$y' = \frac{- (y^{1} y^{2}) - 2 y^{2} x - 6 x}{x y (3 y + 2 x)}$

Étape 5.3.3.10.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' = \frac{- y^{1 + 2} - 2 y^{2} x - 6 x}{x y (3 y + 2 x)}$

Étape 5.3.3.10.5.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$y' = \frac{- y^{3} - 2 y^{2} x - 6 x}{x y (3 y + 2 x)}$

Étape 5.3.3.11

Simplifiez en factorisant.

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Étape 5.3.3.11.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- y^{3}$ .

$y' = \frac{- (y^{3}) - 2 y^{2} x - 6 x}{x y (3 y + 2 x)}$

Étape 5.3.3.11.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 y^{2} x$ .

$y' = \frac{- (y^{3}) - (2 y^{2} x) - 6 x}{x y (3 y + 2 x)}$

Étape 5.3.3.11.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y^{3}) - (2 y^{2} x)$ .

$y' = \frac{- (y^{3} + 2 y^{2} x) - 6 x}{x y (3 y + 2 x)}$

Étape 5.3.3.11.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 6 x$ .

$y' = \frac{- (y^{3} + 2 y^{2} x) - (6 x)}{x y (3 y + 2 x)}$

Étape 5.3.3.11.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y^{3} + 2 y^{2} x) - (6 x)$ .

$y' = \frac{- (y^{3} + 2 y^{2} x + 6 x)}{x y (3 y + 2 x)}$

Étape 5.3.3.11.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.3.11.6.1

Réécrivez $- (y^{3} + 2 y^{2} x + 6 x)$ comme $- 1 (y^{3} + 2 y^{2} x + 6 x)$ .

$y' = \frac{- 1 (y^{3} + 2 y^{2} x + 6 x)}{x y (3 y + 2 x)}$

Étape 5.3.3.11.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y^{3} + 2 y^{2} x + 6 x}{x y (3 y + 2 x)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{3} + 2 y^{2} x + 6 x}{x y (3 y + 2 x)}$