Calcul infinitésimal Exemples

$x y = e^{x y - 1}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x y) = \frac{d}{d x} (e^{x y - 1})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Étape 2.4

Multipliez $y$ par $1$ .

$x y' + y$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x y - 1$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x y - 1$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x y - 1]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x y - 1]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x y - 1$ .

$e^{x y - 1} \frac{d}{d x} [x y - 1]$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x y - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$e^{x y - 1} (\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$e^{x y - 1} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 3.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$e^{x y - 1} (x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{x y - 1} (x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 3.6

Multipliez $y$ par $1$ .

$e^{x y - 1} (x y' + y + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 3.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{x y - 1} (x y' + y + 0)$

Étape 3.8

Additionnez $x y' + y$ et $0$ .

$e^{x y - 1} (x y' + y)$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$x y' + y = e^{x y - 1} (x y' + y)$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez $e^{x y - 1} (x y' + y)$ .

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Étape 5.1.1

Réécrivez.

$x y' + y = 0 + 0 + e^{x y - 1} (x y' + y)$

Étape 5.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$x y' + y = e^{x y - 1} (x y' + y)$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x y' + y = e^{x y - 1} (x y') + e^{x y - 1} y$

Étape 5.1.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x y - 1} (x y') + e^{x y - 1} y$ .

$x y' + y = x y' e^{x y - 1} + y e^{x y - 1}$

Étape 5.2

Soustrayez $x y' e^{x y - 1}$ des deux côtés de l’équation.

$x y' + y - x y' e^{x y - 1} = y e^{x y - 1}$

Étape 5.3

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$x y' - x y' e^{x y - 1} = y e^{x y - 1} - y$

Étape 5.4

Factorisez $x y'$ à partir de $x y' - x y' e^{x y - 1}$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $x y'$ à partir de $x y'$ .

$x y' \cdot 1 - x y' e^{x y - 1} = y e^{x y - 1} - y$

Étape 5.4.2

Factorisez $x y'$ à partir de $- x y' e^{x y - 1}$ .

$x y' \cdot 1 + x y' (- 1 e^{x y - 1}) = y e^{x y - 1} - y$

Étape 5.4.3

Factorisez $x y'$ à partir de $x y' \cdot 1 + x y' (- 1 e^{x y - 1})$ .

$x y' (1 - 1 e^{x y - 1}) = y e^{x y - 1} - y$

Étape 5.5

Réécrivez $- 1 e^{x y - 1}$ comme $- e^{x y - 1}$ .

$x y' (1 - e^{x y - 1}) = y e^{x y - 1} - y$

Étape 5.6

Divisez chaque terme dans $x y' (1 - e^{x y - 1}) = y e^{x y - 1} - y$ par $x (1 - e^{x y - 1})$ et simplifiez.

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Étape 5.6.1

Divisez chaque terme dans $x y' (1 - e^{x y - 1}) = y e^{x y - 1} - y$ par $x (1 - e^{x y - 1})$ .

$\frac{x y' (1 - e^{x y - 1})}{x (1 - e^{x y - 1})} = \frac{y e^{x y - 1}}{x (1 - e^{x y - 1})} + \frac{- y}{x (1 - e^{x y - 1})}$

Étape 5.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.6.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y' (1 - e^{x y - 1})}{x (1 - e^{x y - 1})} = \frac{y e^{x y - 1}}{x (1 - e^{x y - 1})} + \frac{- y}{x (1 - e^{x y - 1})}$

Étape 5.6.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (1 - e^{x y - 1})}{1 - e^{x y - 1}} = \frac{y e^{x y - 1}}{x (1 - e^{x y - 1})} + \frac{- y}{x (1 - e^{x y - 1})}$

Étape 5.6.2.2

Annulez le facteur commun de $1 - e^{x y - 1}$ .

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Étape 5.6.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (1 - e^{x y - 1})}{1 - e^{x y - 1}} = \frac{y e^{x y - 1}}{x (1 - e^{x y - 1})} + \frac{- y}{x (1 - e^{x y - 1})}$

Étape 5.6.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{y e^{x y - 1}}{x (1 - e^{x y - 1})} + \frac{- y}{x (1 - e^{x y - 1})}$

Étape 5.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.6.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{y e^{x y - 1} - y}{x (1 - e^{x y - 1})}$

Étape 5.6.3.2

Factorisez $y$ à partir de $y e^{x y - 1} - y$ .

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Étape 5.6.3.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y e^{x y - 1}$ .

$y' = \frac{y (e^{x y - 1}) - y}{x (1 - e^{x y - 1})}$

Étape 5.6.3.2.2

Factorisez $y$ à partir de $- y$ .

$y' = \frac{y (e^{x y - 1}) + y \cdot - 1}{x (1 - e^{x y - 1})}$

Étape 5.6.3.2.3

Factorisez $y$ à partir de $y (e^{x y - 1}) + y \cdot - 1$ .

$y' = \frac{y (e^{x y - 1} - 1)}{x (1 - e^{x y - 1})}$

Étape 5.6.3.3

Annulez le facteur commun à $e^{x y - 1} - 1$ et $1 - e^{x y - 1}$ .

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Étape 5.6.3.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $e^{x y - 1}$ .

$y' = \frac{y (- 1 (- e^{x y - 1}) - 1)}{x (1 - e^{x y - 1})}$

Étape 5.6.3.3.2

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{y (- 1 (- e^{x y - 1}) - 1 (1))}{x (1 - e^{x y - 1})}$

Étape 5.6.3.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- e^{x y - 1}) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{y (- 1 (- e^{x y - 1} + 1))}{x (1 - e^{x y - 1})}$

Étape 5.6.3.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$y' = \frac{y (- 1 (1 - e^{x y - 1}))}{x (1 - e^{x y - 1})}$

Étape 5.6.3.3.5

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{y (- 1 (1 - e^{x y - 1}))}{x (1 - e^{x y - 1})}$

Étape 5.6.3.3.6

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{y \cdot (- 1)}{x}$

Étape 5.6.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.6.3.4.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $y$ .

$y' = \frac{- 1 \cdot y}{x}$

Étape 5.6.3.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y}{x}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$