Calcul infinitésimal Exemples

$x = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ comme ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x = {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

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Étape 4.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 4.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 4.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 4.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 4.5.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 4.6

Différenciez.

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Étape 4.6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 4.6.2

Associez les fractions.

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Étape 4.6.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 4.6.2.2

Placez ${(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 4.6.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Étape 4.6.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Étape 4.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 4.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 4.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 4.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Étape 4.8

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2 y y')$

Étape 4.9

Simplifiez

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Étape 4.9.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2 y y')$ .

$(2 x + 2 y y') \frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.9.2

Multipliez $2 x + 2 y y'$ par $\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x + 2 y y'}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.9.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 2 y y'}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.9.4

Factorisez $2$ à partir de $2 y y'$ .

$\frac{2 (x) + 2 (y y')}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.9.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (x) + 2 (y y')$ .

$\frac{2 (x + y y')}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.9.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.9.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (x + y y')}{2 ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 4.9.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (x + y y')}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.9.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + y y'}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 = \frac{x + y y'}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6

Résolvez $y'$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{x + y y'}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 1$ .

$\frac{x + y y'}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 1$

Étape 6.2

Multipliez les deux côtés par ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x + y y'}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = 1 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.3

Simplifiez

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Étape 6.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.1.1

Simplifiez $\frac{x + y y'}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 6.3.1.1.1

Annulez le facteur commun de ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 6.3.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + y y'}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = 1 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.3.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x + y y' = 1 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.3.1.1.2

Simplifiez en utilisant la commutativité.

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Étape 6.3.1.1.2.1

Remettez dans l’ordre $y$ et $y'$ .

$x + y' y = 1 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.3.1.1.2.2

Remettez dans l’ordre $x$ et $y' y$ .

$y' y + x = 1 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.1

Multipliez ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$y' y + x = {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.4

Résolvez $y'$ .

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Étape 6.4.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$y' y = {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - x$

Étape 6.4.2

Divisez chaque terme dans $y' y = {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - x$ par $y$ et simplifiez.

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Étape 6.4.2.1

Divisez chaque terme dans $y' y = {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - x$ par $y$ .

$\frac{y' y}{y} = \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y} + \frac{- x}{y}$

Étape 6.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 6.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' y}{y} = \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y} + \frac{- x}{y}$

Étape 6.4.2.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y} + \frac{- x}{y}$

Étape 6.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.4.2.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - x}{y}$

Étape 7

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - x}{y}$