Calcul infinitésimal Exemples

$x = \ln (1 - 7 y^{2})$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (\ln (1 - 7 y^{2}))$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 1 - 7 y^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $1 - 7 y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [1 - 7 y^{2}]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [1 - 7 y^{2}]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $1 - 7 y^{2}$ .

$\frac{1}{1 - 7 y^{2}} \frac{d}{d x} [1 - 7 y^{2}]$

Étape 3.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 7 y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 7 y^{2}]$ .

$\frac{1}{1 - 7 y^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 7 y^{2}])$

Étape 3.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{1 - 7 y^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- 7 y^{2}])$

Étape 3.2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 7 y^{2}]$ .

$\frac{1}{1 - 7 y^{2}} \frac{d}{d x} [- 7 y^{2}]$

Étape 3.2.4

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7 y^{2}$ par rapport à $x$ est $- 7 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{1 - 7 y^{2}} (- 7 \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Étape 3.2.5

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.5.1

Associez $- 7$ et $\frac{1}{1 - 7 y^{2}}$ .

$\frac{- 7}{1 - 7 y^{2}} \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 3.2.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{7}{1 - 7 y^{2}} \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$- \frac{7}{1 - 7 y^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{7}{1 - 7 y^{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$- \frac{7}{1 - 7 y^{2}} (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.4

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \frac{7}{1 - 7 y^{2}} (y \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.4.2

Associez $- 2$ et $\frac{7}{1 - 7 y^{2}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 7}{1 - 7 y^{2}} (y \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.4.3

Multipliez $- 2$ par $7$ .

$\frac{- 14}{1 - 7 y^{2}} (y \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.4.4

Associez $y$ et $\frac{- 14}{1 - 7 y^{2}}$ .

$\frac{y \cdot - 14}{1 - 7 y^{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.4.5

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.5.1

Déplacez $- 14$ à gauche de $y$ .

$\frac{- 14 \cdot y}{1 - 7 y^{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.4.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{14 y}{1 - 7 y^{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.5

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- \frac{14 y}{1 - 7 y^{2}} y'$

Étape 3.6

Associez $y'$ et $\frac{14 y}{1 - 7 y^{2}}$ .

$- \frac{y' (14 y)}{1 - 7 y^{2}}$

Étape 3.7

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{14 y' y}{1 - 7 y^{2}}$

Étape 3.7.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $14 y' y$ .

$- \frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 = - \frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}}$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}} = 1$ .

$- \frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}} = 1$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $- \frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}} = 1$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $- \frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}} = 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Étape 5.2.2.2

Divisez $\frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}}$ par $1$ .

$\frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}} = \frac{1}{- 1}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

Divisez $1$ par $- 1$ .

$\frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}} = - 1$

Étape 5.3

Multipliez les deux côtés par $1 - 7 y^{2}$ .

$\frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}} (1 - 7 y^{2}) = - (1 - 7 y^{2})$

Étape 5.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1.1

Annulez le facteur commun de $1 - 7 y^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}} (1 - 7 y^{2}) = - (1 - 7 y^{2})$

Étape 5.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$14 y y' = - (1 - 7 y^{2})$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1

Simplifiez $- (1 - 7 y^{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$14 y y' = - 1 \cdot 1 - (- 7 y^{2})$

Étape 5.4.2.1.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$14 y y' = - 1 - (- 7 y^{2})$

Étape 5.4.2.1.2.2

Multipliez $- 7$ par $- 1$ .

$14 y y' = - 1 + 7 y^{2}$

Étape 5.4.2.1.2.3

Remettez dans l’ordre $- 1$ et $7 y^{2}$ .

$14 y y' = 7 y^{2} - 1$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $14 y y' = 7 y^{2} - 1$ par $14 y$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $14 y y' = 7 y^{2} - 1$ par $14 y$ .

$\frac{14 y y'}{14 y} = \frac{7 y^{2}}{14 y} + \frac{- 1}{14 y}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $14$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{14 y y'}{14 y} = \frac{7 y^{2}}{14 y} + \frac{- 1}{14 y}$

Étape 5.5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y'}{y} = \frac{7 y^{2}}{14 y} + \frac{- 1}{14 y}$

Étape 5.5.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y'}{y} = \frac{7 y^{2}}{14 y} + \frac{- 1}{14 y}$

Étape 5.5.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{7 y^{2}}{14 y} + \frac{- 1}{14 y}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.3.1.1

Annulez le facteur commun à $7$ et $14$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.3.1.1.1

Factorisez $7$ à partir de $7 y^{2}$ .

$y' = \frac{7 (y^{2})}{14 y} + \frac{- 1}{14 y}$

Étape 5.5.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.3.1.1.2.1

Factorisez $7$ à partir de $14 y$ .

$y' = \frac{7 (y^{2})}{7 (2 y)} + \frac{- 1}{14 y}$

Étape 5.5.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{7 y^{2}}{7 (2 y)} + \frac{- 1}{14 y}$

Étape 5.5.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{y^{2}}{2 y} + \frac{- 1}{14 y}$

Étape 5.5.3.1.2

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.3.1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$y' = \frac{y \cdot y}{2 y} + \frac{- 1}{14 y}$

Étape 5.5.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.3.1.2.2.1

Factorisez $y$ à partir de $2 y$ .

$y' = \frac{y \cdot y}{y \cdot 2} + \frac{- 1}{14 y}$

Étape 5.5.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{y \cdot y}{y \cdot 2} + \frac{- 1}{14 y}$

Étape 5.5.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{y}{2} + \frac{- 1}{14 y}$

Étape 5.5.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{y}{2} - \frac{1}{14 y}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2} - \frac{1}{14 y}$