Calcul infinitésimal Exemples

$x = \csc (y)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (\csc (y))$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \csc (x)$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{d}{d u} [\csc (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\csc (u)$ par rapport à $u$ est $- \csc (u) \cot (u)$ .

$- \csc (u) \cot (u) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$- \csc (y) \cot (y) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- \csc (y) \cot (y) y'$

Étape 3.3

Réorganisez les facteurs de $- \csc (y) \cot (y) y'$ .

$- \cot (y) \csc (y) y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 = - \cot (y) \csc (y) y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $- \cot (y) \csc (y) y' = 1$ .

$- \cot (y) \csc (y) y' = 1$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $- \cot (y) \csc (y) y' = 1$ par $- \cot (y) \csc (y)$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $- \cot (y) \csc (y) y' = 1$ par $- \cot (y) \csc (y)$ .

$\frac{- \cot (y) \csc (y) y'}{- \cot (y) \csc (y)} = \frac{1}{- \cot (y) \csc (y)}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\cot (y) \csc (y) y'}{\cot (y) \csc (y)} = \frac{1}{- \cot (y) \csc (y)}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $\cot (y)$ .

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cot (y) \csc (y) y'}{\cot (y) \csc (y)} = \frac{1}{- \cot (y) \csc (y)}$

Étape 5.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\csc (y) y'}{\csc (y)} = \frac{1}{- \cot (y) \csc (y)}$

Étape 5.2.2.3

Annulez le facteur commun de $\csc (y)$ .

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Étape 5.2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\csc (y) y'}{\csc (y)} = \frac{1}{- \cot (y) \csc (y)}$

Étape 5.2.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{1}{- \cot (y) \csc (y)}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 5.2.3.1.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{- 1 (- 1)}{- \cot (y) \csc (y)}$

Étape 5.2.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{1}{\cot (y) \csc (y)}$

Étape 5.2.3.2

Séparez les fractions.

$y' = - (\frac{1}{\csc (y)} \cdot \frac{1}{\cot (y)})$

Étape 5.2.3.3

Réécrivez $\cot (y)$ en termes de sinus et de cosinus.

$y' = - (\frac{1}{\csc (y)} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (y)}{\sin (y)}})$

Étape 5.2.3.4

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\cos (y)}{\sin (y)}$ .

$y' = - (\frac{1}{\csc (y)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)})$

Étape 5.2.3.5

Convertissez de $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ à $\tan (y)$ .

$y' = - (\frac{1}{\csc (y)} \tan (y))$

Étape 5.2.3.6

Réécrivez $\csc (y)$ en termes de sinus et de cosinus.

$y' = - (\frac{1}{\frac{1}{\sin (y)}} \tan (y))$

Étape 5.2.3.7

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\sin (y)}$ .

$y' = - (1 \sin (y) \tan (y))$

Étape 5.2.3.8

Multipliez $\sin (y)$ par $1$ .

$y' = - \sin (y) \tan (y)$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \sin (y) \tan (y)$