Calcul infinitésimal Exemples

$x = \sec (2 y)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (\sec (2 y))$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = 2 y$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 y$ .

$\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\sec (u)$ par rapport à $u$ est $\sec (u) \tan (u)$ .

$\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 y$ .

$\sec (2 y) \tan (2 y) \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\sec (2 y) \tan (2 y) (2 \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\sec (2 y) \tan (2 y) (2 y')$

Étape 3.4

Réorganisez les facteurs de $\sec (2 y) \tan (2 y) (2 y')$ .

$2 \sec (2 y) \tan (2 y) y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 = 2 \sec (2 y) \tan (2 y) y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $2 \sec (2 y) \tan (2 y) y' = 1$ .

$2 \sec (2 y) \tan (2 y) y' = 1$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $2 \sec (2 y) \tan (2 y) y' = 1$ par $2 \sec (2 y) \tan (2 y)$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \sec (2 y) \tan (2 y) y' = 1$ par $2 \sec (2 y) \tan (2 y)$ .

$\frac{2 \sec (2 y) \tan (2 y) y'}{2 \sec (2 y) \tan (2 y)} = \frac{1}{2 \sec (2 y) \tan (2 y)}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sec (2 y) \tan (2 y) y'}{2 \sec (2 y) \tan (2 y)} = \frac{1}{2 \sec (2 y) \tan (2 y)}$

Étape 5.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sec (2 y) \tan (2 y) y'}{\sec (2 y) \tan (2 y)} = \frac{1}{2 \sec (2 y) \tan (2 y)}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $\sec (2 y)$ .

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sec (2 y) \tan (2 y) y'}{\sec (2 y) \tan (2 y)} = \frac{1}{2 \sec (2 y) \tan (2 y)}$

Étape 5.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\tan (2 y) y'}{\tan (2 y)} = \frac{1}{2 \sec (2 y) \tan (2 y)}$

Étape 5.2.2.3

Annulez le facteur commun de $\tan (2 y)$ .

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Étape 5.2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\tan (2 y) y'}{\tan (2 y)} = \frac{1}{2 \sec (2 y) \tan (2 y)}$

Étape 5.2.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{1}{2 \sec (2 y) \tan (2 y)}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Séparez les fractions.

$y' = \frac{1}{2 \tan (2 y)} \cdot \frac{1}{\sec (2 y)}$

Étape 5.2.3.2

Réécrivez $\sec (2 y)$ en termes de sinus et de cosinus.

$y' = \frac{1}{2 \tan (2 y)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (2 y)}}$

Étape 5.2.3.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\cos (2 y)}$ .

$y' = \frac{1}{2 \tan (2 y)} (1 \cos (2 y))$

Étape 5.2.3.4

Multipliez $\cos (2 y)$ par $1$ .

$y' = \frac{1}{2 \tan (2 y)} \cos (2 y)$

Étape 5.2.3.5

Séparez les fractions.

$y' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\tan (2 y)} \cos (2 y)$

Étape 5.2.3.6

Réécrivez $\tan (2 y)$ en termes de sinus et de cosinus.

$y' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{\sin (2 y)}{\cos (2 y)}} \cos (2 y)$

Étape 5.2.3.7

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\sin (2 y)}{\cos (2 y)}$ .

$y' = \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (2 y)}{\sin (2 y)} \cos (2 y)$

Étape 5.2.3.8

Convertissez de $\frac{\cos (2 y)}{\sin (2 y)}$ à $\cot (2 y)$ .

$y' = \frac{1}{2} \cot (2 y) \cos (2 y)$

Étape 5.2.3.9

Associez $\frac{1}{2}$ et $\cot (2 y)$ .

$y' = \frac{\cot (2 y)}{2} \cos (2 y)$

Étape 5.2.3.10

Associez $\frac{\cot (2 y)}{2}$ et $\cos (2 y)$ .

$y' = \frac{\cot (2 y) \cos (2 y)}{2}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cot (2 y) \cos (2 y)}{2}$