Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(x^{2} \ln (x))}^{4}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} \ln (x))}^{4})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = x^{2} \ln (x)$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} \ln (x)$ .

$4 {(x^{2} \ln (x))}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$4 {(x^{2} \ln (x))}^{3} (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$4 {(x^{2} \ln (x))}^{3} (x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.4.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{x}$ .

$4 {(x^{2} \ln (x))}^{3} (\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.4.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 3.4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$4 {(x^{2} \ln (x))}^{3} (\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$4 {(x^{2} \ln (x))}^{3} (\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.4.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$4 {(x^{2} \ln (x))}^{3} (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.4.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$4 {(x^{2} \ln (x))}^{3} (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.4.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$4 {(x^{2} \ln (x))}^{3} (\frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.4.2.2.5

Divisez $x$ par $1$ .

$4 {(x^{2} \ln (x))}^{3} (x + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 {(x^{2} \ln (x))}^{3} (x + \ln (x) (2 x))$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Appliquez la règle de produit à $x^{2} \ln (x)$ .

$4 ({(x^{2})}^{3} \ln^{3} (x)) (x + \ln (x) (2 x))$

Étape 3.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 ({(x^{2})}^{3} \ln^{3} (x)) x + 4 ({(x^{2})}^{3} \ln^{3} (x)) (\ln (x) (2 x))$

Étape 3.5.3

Associez des termes.

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Étape 3.5.3.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{3}$ .

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Étape 3.5.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (x^{2 \cdot 3} \ln^{3} (x)) x + 4 ({(x^{2})}^{3} \ln^{3} (x)) (\ln (x) (2 x))$

Étape 3.5.3.1.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$4 (x^{6} \ln^{3} (x)) x + 4 ({(x^{2})}^{3} \ln^{3} (x)) (\ln (x) (2 x))$

Étape 3.5.3.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$4 (x^{1} x^{6}) \ln^{3} (x) + 4 ({(x^{2})}^{3} \ln^{3} (x)) (\ln (x) (2 x))$

Étape 3.5.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 x^{1 + 6} \ln^{3} (x) + 4 ({(x^{2})}^{3} \ln^{3} (x)) (\ln (x) (2 x))$

Étape 3.5.3.4

Additionnez $1$ et $6$ .

$4 x^{7} \ln^{3} (x) + 4 ({(x^{2})}^{3} \ln^{3} (x)) (\ln (x) (2 x))$

Étape 3.5.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{3}$ .

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Étape 3.5.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{7} \ln^{3} (x) + 4 (x^{2 \cdot 3} \ln^{3} (x)) (\ln (x) (2 x))$

Étape 3.5.3.5.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$4 x^{7} \ln^{3} (x) + 4 (x^{6} \ln^{3} (x)) (\ln (x) (2 x))$

Étape 3.5.3.6

Multipliez $2$ par $4$ .

$4 x^{7} \ln^{3} (x) + 8 x^{6} \ln^{3} (x) (\ln (x) (x))$

Étape 3.5.3.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$4 x^{7} \ln^{3} (x) + 8 (x^{1} x^{6}) \ln^{3} (x) \ln (x)$

Étape 3.5.3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 x^{7} \ln^{3} (x) + 8 x^{1 + 6} \ln^{3} (x) \ln (x)$

Étape 3.5.3.9

Additionnez $1$ et $6$ .

$4 x^{7} \ln^{3} (x) + 8 x^{7} \ln^{3} (x) \ln (x)$

Étape 3.5.3.10

Élevez $\ln (x)$ à la puissance $1$ .

$4 x^{7} \ln^{3} (x) + 8 x^{7} (\ln^{1} (x) \ln^{3} (x))$

Étape 3.5.3.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 x^{7} \ln^{3} (x) + 8 x^{7} {\ln (x)}^{1 + 3}$

Étape 3.5.3.12

Additionnez $1$ et $3$ .

$4 x^{7} \ln^{3} (x) + 8 x^{7} \ln^{4} (x)$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 4 x^{7} \ln^{3} (x) + 8 x^{7} \ln^{4} (x)$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{7} \ln^{3} (x) + 8 x^{7} \ln^{4} (x)$