Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{3}})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ et $g (x) = x^{2} + 2 x$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 2 x$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Étape 3.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Étape 3.3

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Étape 3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Étape 3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Étape 3.5.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Étape 3.6

Associez les fractions.

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Étape 3.6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 2 x)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Étape 3.6.2

Associez $\frac{1}{3}$ et ${(x^{2} + 2 x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 2 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Étape 3.6.3

Placez ${(x^{2} + 2 x)}^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Étape 3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 3.9

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + 2 \cdot 1)$

Étape 3.11

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + 2)$

Étape 3.12

Simplifiez

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Étape 3.12.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{3 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + 2)$ .

$(2 x + 2) \frac{1}{3 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.12.2

Multipliez $2 x + 2$ par $\frac{1}{3 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 x + 2}{3 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.12.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2$ .

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Étape 3.12.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 2}{3 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.12.3.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (x) + 2 (1)}{3 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.12.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (x + 1)}{3 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{2 (x + 1)}{3 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (x + 1)}{3 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$