Calcul infinitésimal Exemples

$y = (2 x - \csc^{2} (3 x - 1))$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$y = 2 x - \csc^{2} (3 x - 1)$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 x - \csc^{2} (3 x - 1))$

Étape 3

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - \csc^{2} (3 x - 1)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \csc^{2} (3 x - 1)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \csc^{2} (3 x - 1)]$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 4.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \csc^{2} (3 x - 1)]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \csc^{2} (3 x - 1)]$

Étape 4.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \csc^{2} (3 x - 1)]$

Étape 4.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \csc^{2} (3 x - 1)]$ .

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \csc^{2} (3 x - 1)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\csc^{2} (3 x - 1)]$ .

$2 - \frac{d}{d x} [\csc^{2} (3 x - 1)]$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \csc (3 x - 1)$ .

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Étape 4.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\csc (3 x - 1)$ .

$2 - (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (3 x - 1)])$

Étape 4.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 - (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\csc (3 x - 1)])$

Étape 4.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\csc (3 x - 1)$ .

$2 - (2 \csc (3 x - 1) \frac{d}{d x} [\csc (3 x - 1)])$

Étape 4.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \csc (x)$ et $g (x) = 3 x - 1$ .

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Étape 4.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $3 x - 1$ .

$2 - (2 \csc (3 x - 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x - 1]))$

Étape 4.3.3.2

La dérivée de $\csc (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$2 - (2 \csc (3 x - 1) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x - 1]))$

Étape 4.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 x - 1$ .

$2 - (2 \csc (3 x - 1) (- \csc (3 x - 1) \cot (3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]))$

Étape 4.3.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 - (2 \csc (3 x - 1) (- \csc (3 x - 1) \cot (3 x - 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])))$

Étape 4.3.5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 - (2 \csc (3 x - 1) (- \csc (3 x - 1) \cot (3 x - 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])))$

Étape 4.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 - (2 \csc (3 x - 1) (- \csc (3 x - 1) \cot (3 x - 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])))$

Étape 4.3.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 - (2 \csc (3 x - 1) (- \csc (3 x - 1) \cot (3 x - 1) (3 \cdot 1 + 0)))$

Étape 4.3.8

Multipliez $3$ par $1$ .

$2 - (2 \csc (3 x - 1) (- \csc (3 x - 1) \cot (3 x - 1) (3 + 0)))$

Étape 4.3.9

Additionnez $3$ et $0$ .

$2 - (2 \csc (3 x - 1) (- \csc (3 x - 1) \cot (3 x - 1) \cdot 3))$

Étape 4.3.10

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$2 - (2 \csc (3 x - 1) (- 3 \csc (3 x - 1) \cot (3 x - 1)))$

Étape 4.3.11

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$2 - (- 6 \csc (3 x - 1) (\csc (3 x - 1) \cot (3 x - 1)))$

Étape 4.3.12

Élevez $\csc (3 x - 1)$ à la puissance $1$ .

$2 - (- 6 (\csc^{1} (3 x - 1) \csc (3 x - 1)) \cot (3 x - 1))$

Étape 4.3.13

Élevez $\csc (3 x - 1)$ à la puissance $1$ .

$2 - (- 6 (\csc^{1} (3 x - 1) \csc^{1} (3 x - 1)) \cot (3 x - 1))$

Étape 4.3.14

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 - (- 6 {\csc (3 x - 1)}^{1 + 1} \cot (3 x - 1))$

Étape 4.3.15

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 - (- 6 \csc^{2} (3 x - 1) \cot (3 x - 1))$

Étape 4.3.16

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$2 + 6 \csc^{2} (3 x - 1) \cot (3 x - 1)$

Étape 4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$6 \csc^{2} (3 x - 1) \cot (3 x - 1) + 2$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 6 \csc^{2} (3 x - 1) \cot (3 x - 1) + 2$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 \csc^{2} (3 x - 1) \cot (3 x - 1) + 2$