Calcul infinitésimal Exemples

$y = (4 x^{2} - e^{2 x}) \sin (3 x)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((4 x^{2} - e^{2 x}) \sin (3 x))$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 4 x^{2} - e^{2 x}$ et $g (x) = \sin (3 x)$ .

$(4 x^{2} - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - e^{2 x}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $3 x$ .

$(4 x^{2} - e^{2 x}) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x]) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - e^{2 x}]$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$(4 x^{2} - e^{2 x}) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x]) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - e^{2 x}]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $3 x$ .

$(4 x^{2} - e^{2 x}) (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - e^{2 x}]$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - e^{2 x}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x) (3 \cdot 1) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - e^{2 x}]$

Étape 3.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.3.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$(4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x) \cdot 3 + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - e^{2 x}]$

Étape 3.3.3.2

Déplacez $3$ à gauche de $(4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x)$ .

$3 \cdot ((4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x)) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - e^{2 x}]$

Étape 3.3.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{2} - e^{2 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

$3 (4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x) + \sin (3 x) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}])$

Étape 3.3.5

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 (4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x) + \sin (3 x) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}])$

Étape 3.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x) + \sin (3 x) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}])$

Étape 3.3.7

Multipliez $2$ par $4$ .

$3 (4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x) + \sin (3 x) (8 x + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}])$

Étape 3.3.8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- e^{2 x}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$3 (4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x) + \sin (3 x) (8 x - \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x$ .

$3 (4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x) + \sin (3 x) (8 x - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x]))$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$3 (4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x) + \sin (3 x) (8 x - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x]))$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$3 (4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x) + \sin (3 x) (8 x - (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]))$

Étape 3.5

Différenciez.

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Étape 3.5.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x) + \sin (3 x) (8 x - e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 3.5.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$3 (4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x) + \sin (3 x) (8 x - 2 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 (4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x) + \sin (3 x) (8 x - 2 e^{2 x} \cdot 1)$

Étape 3.5.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$3 (4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x) + \sin (3 x) (8 x - 2 e^{2 x})$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$(3 (4 x^{2}) + 3 (- e^{2 x})) \cos (3 x) + \sin (3 x) (8 x - 2 e^{2 x})$

Étape 3.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 (4 x^{2}) \cos (3 x) + 3 (- e^{2 x}) \cos (3 x) + \sin (3 x) (8 x - 2 e^{2 x})$

Étape 3.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 (4 x^{2}) \cos (3 x) + 3 (- e^{2 x}) \cos (3 x) + \sin (3 x) (8 x) + \sin (3 x) (- 2 e^{2 x})$

Étape 3.6.4

Associez des termes.

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Étape 3.6.4.1

Multipliez $4$ par $3$ .

$12 x^{2} \cos (3 x) + 3 (- e^{2 x}) \cos (3 x) + \sin (3 x) (8 x) + \sin (3 x) (- 2 e^{2 x})$

Étape 3.6.4.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$12 x^{2} \cos (3 x) - 3 e^{2 x} \cos (3 x) + \sin (3 x) (8 x) + \sin (3 x) (- 2 e^{2 x})$

Étape 3.6.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$12 x^{2} \cos (3 x) - 3 e^{2 x} \cos (3 x) + 8 x \sin (3 x) - 2 e^{2 x} \sin (3 x)$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 12 x^{2} \cos (3 x) - 3 e^{2 x} \cos (3 x) + 8 x \sin (3 x) - 2 e^{2 x} \sin (3 x)$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 12 x^{2} \cos (3 x) - 3 e^{2 x} \cos (3 x) + 8 x \sin (3 x) - 2 e^{2 x} \sin (3 x)$