Calcul infinitésimal Exemples

$y + x \cos (y) = x^{2} y$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y + x \cos (y)) = \frac{d}{d x} (x^{2} y)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y + x \cos (y)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x \cos (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x \cos (y)]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$y' + \frac{d}{d x} [x \cos (y)]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x \cos (y)]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \cos (y)$ .

$y' + x \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$y' + x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$y' + x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$y' + x (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$y' + x (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y' + x (- \sin (y) y') + \cos (y) \cdot 1$

Étape 2.3.5

Multipliez $\cos (y)$ par $1$ .

$y' + x (- \sin (y) y') + \cos (y)$

Étape 2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- x \sin (y) y' + y' + \cos (y)$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x)$

Étape 3.4

Remettez dans l’ordre.

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Étape 3.4.1

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$x^{2} y' + 2 \cdot y x$

Étape 3.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$x^{2} y' + 2 x y$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- x \sin (y) y' + y' + \cos (y) = x^{2} y' + 2 x y$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- x \sin (y) y' + y' + \cos (y)$ .

$- x y' \sin (y) + y' + \cos (y) = x^{2} y' + 2 x y$

Étape 5.2

Soustrayez $x^{2} y'$ des deux côtés de l’équation.

$- x y' \sin (y) + y' + \cos (y) - x^{2} y' = 2 x y$

Étape 5.3

Soustrayez $\cos (y)$ des deux côtés de l’équation.

$- x y' \sin (y) + y' - x^{2} y' = 2 x y - \cos (y)$

Étape 5.4

Factorisez $y'$ à partir de $- x y' \sin (y) + y' - x^{2} y'$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $y'$ à partir de $- x y' \sin (y)$ .

$y' (- x \sin (y)) + y' - x^{2} y' = 2 x y - \cos (y)$

Étape 5.4.2

Élevez $y'$ à la puissance $1$ .

$y' (- x \sin (y)) + y' - x^{2} y' = 2 x y - \cos (y)$

Étape 5.4.3

Factorisez $y'$ à partir de ${y'}^{1}$ .

$y' (- x \sin (y)) + y' \cdot 1 - x^{2} y' = 2 x y - \cos (y)$

Étape 5.4.4

Factorisez $y'$ à partir de $- x^{2} y'$ .

$y' (- x \sin (y)) + y' \cdot 1 + y' (- x^{2}) = 2 x y - \cos (y)$

Étape 5.4.5

Factorisez $y'$ à partir de $y' (- x \sin (y)) + y' \cdot 1$ .

$y' (- x \sin (y) + 1) + y' (- x^{2}) = 2 x y - \cos (y)$

Étape 5.4.6

Factorisez $y'$ à partir de $y' (- x \sin (y) + 1) + y' (- x^{2})$ .

$y' (- x \sin (y) + 1 - x^{2}) = 2 x y - \cos (y)$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $y' (- x \sin (y) + 1 - x^{2}) = 2 x y - \cos (y)$ par $- x \sin (y) + 1 - x^{2}$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $y' (- x \sin (y) + 1 - x^{2}) = 2 x y - \cos (y)$ par $- x \sin (y) + 1 - x^{2}$ .

$\frac{y' (- x \sin (y) + 1 - x^{2})}{- x \sin (y) + 1 - x^{2}} = \frac{2 x y}{- x \sin (y) + 1 - x^{2}} + \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y) + 1 - x^{2}}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $- x \sin (y) + 1 - x^{2}$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (- x \sin (y) + 1 - x^{2})}{- x \sin (y) + 1 - x^{2}} = \frac{2 x y}{- x \sin (y) + 1 - x^{2}} + \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y) + 1 - x^{2}}$

Étape 5.5.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{2 x y}{- x \sin (y) + 1 - x^{2}} + \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y) + 1 - x^{2}}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{2 x y}{- x \sin (y) + 1 - x^{2}} - \frac{\cos (y)}{- x \sin (y) + 1 - x^{2}}$

Étape 5.5.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{2 x y - \cos (y)}{- x \sin (y) + 1 - x^{2}}$

Étape 5.5.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- x \sin (y)$ .

$y' = \frac{2 x y - \cos (y)}{- (x \sin (y)) + 1 - x^{2}}$

Étape 5.5.3.4

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{2 x y - \cos (y)}{- (x \sin (y)) - 1 (- 1) - x^{2}}$

Étape 5.5.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x \sin (y)) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{2 x y - \cos (y)}{- (x \sin (y) - 1) - x^{2}}$

Étape 5.5.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$y' = \frac{2 x y - \cos (y)}{- (x \sin (y) - 1) - (x^{2})}$

Étape 5.5.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x \sin (y) - 1) - (x^{2})$ .

$y' = \frac{2 x y - \cos (y)}{- (x \sin (y) - 1 + x^{2})}$

Étape 5.5.3.8

Réécrivez les nombres négatifs.

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Étape 5.5.3.8.1

Réécrivez $- (x \sin (y) - 1 + x^{2})$ comme $- 1 (x \sin (y) - 1 + x^{2})$ .

$y' = \frac{2 x y - \cos (y)}{- 1 (x \sin (y) - 1 + x^{2})}$

Étape 5.5.3.8.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{2 x y - \cos (y)}{x \sin (y) - 1 + x^{2}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y - \cos (y)}{x \sin (y) - 1 + x^{2}}$