Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{8} \ln (x - \frac{1}{5} x^{5})$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{8} \ln (x - \frac{1}{5} x^{5}))$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Associez $x^{5}$ et $\frac{1}{5}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{8} \ln (x - \frac{x^{5}}{5})]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{8}$ et $g (x) = \ln (x - \frac{x^{5}}{5})$ .

$x^{8} \frac{d}{d x} [\ln (x - \frac{x^{5}}{5})] + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x - \frac{x^{5}}{5}$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - \frac{x^{5}}{5}$ .

$x^{8} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - \frac{x^{5}}{5}]) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Étape 3.3.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$x^{8} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - \frac{x^{5}}{5}]) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - \frac{x^{5}}{5}$ .

$x^{8} (\frac{1}{x - \frac{x^{5}}{5}} \frac{d}{d x} [x - \frac{x^{5}}{5}]) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Étape 3.4

Différenciez.

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Étape 3.4.1

Associez $\frac{1}{x - \frac{x^{5}}{5}}$ et $x^{8}$ .

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} \frac{d}{d x} [x - \frac{x^{5}}{5}] + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Étape 3.4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - \frac{x^{5}}{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{5}]$ .

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{5}]) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Étape 3.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{5}]) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Étape 3.4.4

Comme $- \frac{1}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x^{5}}{5}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (1 - \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Étape 3.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (1 - \frac{1}{5} (5 x^{4})) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Étape 3.4.6

Simplifiez les termes.

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Étape 3.4.6.1

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (1 - 5 (\frac{1}{5}) x^{4}) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Étape 3.4.6.2

Associez $- 5$ et $\frac{1}{5}$ .

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (1 + \frac{- 5}{5} x^{4}) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Étape 3.4.6.3

Associez $\frac{- 5}{5}$ et $x^{4}$ .

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (1 + \frac{- 5 x^{4}}{5}) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Étape 3.4.6.4

Annulez le facteur commun à $- 5$ et $5$ .

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Étape 3.4.6.4.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5 x^{4}$ .

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (1 + \frac{5 (- x^{4})}{5}) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Étape 3.4.6.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.6.4.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (1 + \frac{5 (- x^{4})}{5 (1)}) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Étape 3.4.6.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (1 + \frac{5 (- x^{4})}{5 \cdot 1}) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Étape 3.4.6.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (1 + \frac{- x^{4}}{1}) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Étape 3.4.6.4.2.4

Divisez $- x^{4}$ par $1$ .

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (1 - x^{4}) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Étape 3.4.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 8$ .

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (1 - x^{4}) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) (8 x^{7})$

Étape 3.4.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$(1 - x^{4}) \frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} + 8 x^{7} \ln (x - \frac{x^{5}}{5})$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = (1 - x^{4}) (\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}}) + 8 x^{7} \ln (x - \frac{x^{5}}{5})$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (1 - x^{4}) (\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}}) + 8 x^{7} \ln (x - \frac{x^{5}}{5})$