Calcul infinitésimal Exemples

$y = 2 x^{- 3} - 4 x^{- 2}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 x^{- 3} - 4 x^{- 2})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{- 3} - 4 x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{- 3}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 3$ .

$2 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

Étape 3.2.3

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$- 6 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$- 6 x^{- 4} - 4 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$- 6 x^{- 4} - 4 (- 2 x^{- 3})$

Étape 3.3.3

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$- 6 x^{- 4} + 8 x^{- 3}$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$8 x^{- 3} - 6 x^{- 4}$

Étape 3.4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 \frac{1}{x^{3}} - 6 x^{- 4}$

Étape 3.4.2.2

Associez $8$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{8}{x^{3}} - 6 x^{- 4}$

Étape 3.4.2.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{8}{x^{3}} - 6 \frac{1}{x^{4}}$

Étape 3.4.2.4

Associez $- 6$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{8}{x^{3}} + \frac{- 6}{x^{4}}$

Étape 3.4.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{8}{x^{3}} - \frac{6}{x^{4}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{8}{x^{3}} - \frac{6}{x^{4}}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{8}{x^{3}} - \frac{6}{x^{4}}$