Calcul infinitésimal Exemples

$y = 2 x^{2} - 5 x + 3 x^{- 2} + 4 x^{- 3}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 x^{2} - 5 x + 3 x^{- 2} + 4 x^{- 3})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} - 5 x + 3 x^{- 2} + 4 x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- 3}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- 3}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- 3}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- 3}]$

Étape 3.2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- 3}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- 3}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- 3}]$

Étape 3.3.3

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$4 x - 5 + \frac{d}{d x} [3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- 3}]$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{- 2}]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$4 x - 5 + 3 \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- 3}]$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$4 x - 5 + 3 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{- 3}]$

Étape 3.4.3

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$4 x - 5 - 6 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [4 x^{- 3}]$

Étape 3.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{- 3}]$ .

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Étape 3.5.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$4 x - 5 - 6 x^{- 3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Étape 3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 3$ .

$4 x - 5 - 6 x^{- 3} + 4 (- 3 x^{- 4})$

Étape 3.5.3

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$4 x - 5 - 6 x^{- 3} - 12 x^{- 4}$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 x - 5 - 6 \frac{1}{x^{3}} - 12 x^{- 4}$

Étape 3.6.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 x - 5 - 6 \frac{1}{x^{3}} - 12 \frac{1}{x^{4}}$

Étape 3.6.3

Associez des termes.

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Étape 3.6.3.1

Associez $- 6$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$4 x - 5 + \frac{- 6}{x^{3}} - 12 \frac{1}{x^{4}}$

Étape 3.6.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 x - 5 - \frac{6}{x^{3}} - 12 \frac{1}{x^{4}}$

Étape 3.6.3.3

Associez $- 12$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$4 x - 5 - \frac{6}{x^{3}} + \frac{- 12}{x^{4}}$

Étape 3.6.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 x - 5 - \frac{6}{x^{3}} - \frac{12}{x^{4}}$

Étape 3.6.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$4 x - \frac{6}{x^{3}} - \frac{12}{x^{4}} - 5$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 4 x - \frac{6}{x^{3}} - \frac{12}{x^{4}} - 5$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 x - \frac{6}{x^{3}} - \frac{12}{x^{4}} - 5$