Calcul infinitésimal Exemples

$y = 3 x^{8} - \sin (x) + x^{3} \tan (x)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3 x^{8} - \sin (x) + x^{3} \tan (x))$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{8} - \sin (x) + x^{3} \tan (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{8}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{3} \tan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{8}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{3} \tan (x)]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{8}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{8}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{8}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{3} \tan (x)]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 8$ .

$3 (8 x^{7}) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{3} \tan (x)]$

Étape 3.2.3

Multipliez $8$ par $3$ .

$24 x^{7} + \frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{3} \tan (x)]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$24 x^{7} - \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{3} \tan (x)]$

Étape 3.3.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$24 x^{7} - \cos (x) + \frac{d}{d x} [x^{3} \tan (x)]$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{3} \tan (x)]$ .

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Étape 3.4.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \tan (x)$ .

$24 x^{7} - \cos (x) + x^{3} \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.4.2

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$24 x^{7} - \cos (x) + x^{3} \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$24 x^{7} - \cos (x) + x^{3} \sec^{2} (x) + \tan (x) (3 x^{2})$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$24 x^{7} + x^{3} \sec^{2} (x) + 3 x^{2} \tan (x) - \cos (x)$

Étape 3.5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.2.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$24 x^{7} + x^{3} {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + 3 x^{2} \tan (x) - \cos (x)$

Étape 3.5.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$24 x^{7} + x^{3} \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + 3 x^{2} \tan (x) - \cos (x)$

Étape 3.5.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$24 x^{7} + x^{3} \frac{1}{\cos^{2} (x)} + 3 x^{2} \tan (x) - \cos (x)$

Étape 3.5.2.4

Associez $x^{3}$ et $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$24 x^{7} + \frac{x^{3}}{\cos^{2} (x)} + 3 x^{2} \tan (x) - \cos (x)$

Étape 3.5.2.5

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$24 x^{7} + \frac{x^{3}}{\cos^{2} (x)} + 3 x^{2} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x)$

Étape 3.5.2.6

Multipliez $3 x^{2} \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Étape 3.5.2.6.1

Associez $3$ et $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$24 x^{7} + \frac{x^{3}}{\cos^{2} (x)} + x^{2} \frac{3 \sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x)$

Étape 3.5.2.6.2

Associez $x^{2}$ et $\frac{3 \sin (x)}{\cos (x)}$ .

$24 x^{7} + \frac{x^{3}}{\cos^{2} (x)} + \frac{x^{2} (3 \sin (x))}{\cos (x)} - \cos (x)$

Étape 3.5.2.7

Déplacez $3$ à gauche de $x^{2}$ .

$24 x^{7} + \frac{x^{3}}{\cos^{2} (x)} + \frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x)$

Étape 3.5.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.3.1

Multipliez par $1$ .

$24 x^{7} + \frac{x^{3}}{\cos^{2} (x) \cdot 1} + \frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x)$

Étape 3.5.3.2

Séparez les fractions.

$24 x^{7} + \frac{x^{3}}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x)$

Étape 3.5.3.3

Convertissez de $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ à $\sec^{2} (x)$ .

$24 x^{7} + \frac{x^{3}}{1} \sec^{2} (x) + \frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x)$

Étape 3.5.3.4

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$24 x^{7} + x^{3} \sec^{2} (x) + \frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x)$

Étape 3.5.3.5

Séparez les fractions.

$24 x^{7} + x^{3} \sec^{2} (x) + \frac{3 x^{2}}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x)$

Étape 3.5.3.6

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$24 x^{7} + x^{3} \sec^{2} (x) + \frac{3 x^{2}}{1} \tan (x) - \cos (x)$

Étape 3.5.3.7

Divisez $3 x^{2}$ par $1$ .

$24 x^{7} + x^{3} \sec^{2} (x) + 3 x^{2} \tan (x) - \cos (x)$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 24 x^{7} + x^{3} \sec^{2} (x) + 3 x^{2} \tan (x) - \cos (x)$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 24 x^{7} + x^{3} \sec^{2} (x) + 3 x^{2} \tan (x) - \cos (x)$