Calcul infinitésimal Exemples

$y = 5 x^{3} (4 x^{5} - 7 x^{3})$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (5 x^{3} (4 x^{5} - 7 x^{3}))$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{3} (4 x^{5} - 7 x^{3})$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{3} (4 x^{5} - 7 x^{3})]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3} (4 x^{5} - 7 x^{3})]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = 4 x^{5} - 7 x^{3}$ .

$5 (x^{3} \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 7 x^{3}] + (4 x^{5} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{5} - 7 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]$ .

$5 (x^{3} (\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]) + (4 x^{5} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 3.3.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{5}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$5 (x^{3} (4 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]) + (4 x^{5} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$5 (x^{3} (4 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]) + (4 x^{5} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 3.3.4

Multipliez $5$ par $4$ .

$5 (x^{3} (20 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]) + (4 x^{5} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 3.3.5

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 (x^{3} (20 x^{4} - 7 \frac{d}{d x} [x^{3}]) + (4 x^{5} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 3.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$5 (x^{3} (20 x^{4} - 7 (3 x^{2})) + (4 x^{5} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 3.3.7

Multipliez $3$ par $- 7$ .

$5 (x^{3} (20 x^{4} - 21 x^{2}) + (4 x^{5} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 3.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$5 (x^{3} (20 x^{4} - 21 x^{2}) + (4 x^{5} - 7 x^{3}) (3 x^{2}))$

Étape 3.3.9

Déplacez $3$ à gauche de $4 x^{5} - 7 x^{3}$ .

$5 (x^{3} (20 x^{4} - 21 x^{2}) + 3 \cdot (4 x^{5} - 7 x^{3}) x^{2})$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 (x^{3} (20 x^{4}) + x^{3} (- 21 x^{2}) + 3 (4 x^{5} - 7 x^{3}) x^{2})$

Étape 3.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$5 (x^{3} (20 x^{4}) + x^{3} (- 21 x^{2}) + (3 (4 x^{5}) + 3 (- 7 x^{3})) x^{2})$

Étape 3.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$5 (x^{3} (20 x^{4}) + x^{3} (- 21 x^{2}) + 3 (4 x^{5}) x^{2} + 3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

Étape 3.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$5 (x^{3} (20 x^{4})) + 5 (x^{3} (- 21 x^{2})) + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

Étape 3.4.5

Associez des termes.

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Étape 3.4.5.1

Multipliez $x^{3}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.5.1.1

Déplacez $x^{4}$ .

$5 (x^{4} x^{3} \cdot 20) + 5 (x^{3} (- 21 x^{2})) + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

Étape 3.4.5.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 (x^{4 + 3} \cdot 20) + 5 (x^{3} (- 21 x^{2})) + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

Étape 3.4.5.1.3

Additionnez $4$ et $3$ .

$5 (x^{7} \cdot 20) + 5 (x^{3} (- 21 x^{2})) + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

Étape 3.4.5.2

Déplacez $20$ à gauche de $x^{7}$ .

$5 (20 \cdot x^{7}) + 5 (x^{3} (- 21 x^{2})) + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

Étape 3.4.5.3

Multipliez $20$ par $5$ .

$100 x^{7} + 5 (x^{3} (- 21 x^{2})) + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

Étape 3.4.5.4

Multipliez $x^{3}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.5.4.1

Déplacez $x^{2}$ .

$100 x^{7} + 5 (x^{2} x^{3} \cdot - 21) + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

Étape 3.4.5.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$100 x^{7} + 5 (x^{2 + 3} \cdot - 21) + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

Étape 3.4.5.4.3

Additionnez $2$ et $3$ .

$100 x^{7} + 5 (x^{5} \cdot - 21) + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

Étape 3.4.5.5

Déplacez $- 21$ à gauche de $x^{5}$ .

$100 x^{7} + 5 (- 21 \cdot x^{5}) + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

Étape 3.4.5.6

Multipliez $- 21$ par $5$ .

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

Étape 3.4.5.7

Multipliez $4$ par $3$ .

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 5 (12 x^{5} x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

Étape 3.4.5.8

Multipliez $x^{5}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.5.8.1

Déplacez $x^{2}$ .

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 5 (12 (x^{2} x^{5})) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

Étape 3.4.5.8.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 5 (12 x^{2 + 5}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

Étape 3.4.5.8.3

Additionnez $2$ et $5$ .

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 5 (12 x^{7}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

Étape 3.4.5.9

Multipliez $12$ par $5$ .

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 60 x^{7} + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

Étape 3.4.5.10

Multipliez $- 7$ par $3$ .

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 60 x^{7} + 5 (- 21 x^{3} x^{2})$

Étape 3.4.5.11

Multipliez $x^{3}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.5.11.1

Déplacez $x^{2}$ .

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 60 x^{7} + 5 (- 21 (x^{2} x^{3}))$

Étape 3.4.5.11.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 60 x^{7} + 5 (- 21 x^{2 + 3})$

Étape 3.4.5.11.3

Additionnez $2$ et $3$ .

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 60 x^{7} + 5 (- 21 x^{5})$

Étape 3.4.5.12

Multipliez $- 21$ par $5$ .

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 60 x^{7} - 105 x^{5}$

Étape 3.4.5.13

Additionnez $100 x^{7}$ et $60 x^{7}$ .

$160 x^{7} - 105 x^{5} - 105 x^{5}$

Étape 3.4.5.14

Soustrayez $105 x^{5}$ de $- 105 x^{5}$ .

$160 x^{7} - 210 x^{5}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 160 x^{7} - 210 x^{5}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 160 x^{7} - 210 x^{5}$