Calcul infinitésimal Exemples

$y = 5 \cos^{- 4} (x) + \sin (x) \cos (x)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (5 \cos^{- 4} (x) + \sin (x) \cos (x))$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 \cos^{- 4} (x) + \sin (x) \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 \cos^{- 4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [5 \cos^{- 4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 \cos^{- 4} (x)]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 \cos^{- 4} (x)$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [\cos^{- 4} (x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\cos^{- 4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 4}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 3.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\cos (x)$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Étape 3.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 4$ .

$5 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Étape 3.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$5 (- 4 \cos^{- 5} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Étape 3.2.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$5 (- 4 \cos^{- 5} (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Étape 3.2.4

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$5 (4 \cos^{- 5} (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Étape 3.2.5

Multipliez $4$ par $5$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

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Étape 3.3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 3.3.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 3.3.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (x)$

Étape 3.3.4

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \cos (x)$

Étape 3.3.5

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \cos (x)$

Étape 3.3.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \cos (x)$

Étape 3.3.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x)$

Étape 3.3.8

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)$

Étape 3.3.9

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)$

Étape 3.3.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}$

Étape 3.3.11

Additionnez $1$ et $1$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Remettez dans l’ordre $- \sin^{2} (x)$ et $\cos^{2} (x)$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Étape 3.4.2

Appliquez l’identité d’angle double du cosinus.

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) + \cos (2 x)$

Étape 3.4.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$20 \frac{1}{\cos^{5} (x)} \sin (x) + \cos (2 x)$

Étape 3.4.3.2

Associez $20$ et $\frac{1}{\cos^{5} (x)}$ .

$\frac{20}{\cos^{5} (x)} \sin (x) + \cos (2 x)$

Étape 3.4.3.3

Multipliez par $1$ .

$\frac{20}{\cos^{5} (x) \cdot 1} \sin (x) + \cos (2 x)$

Étape 3.4.3.4

Séparez les fractions.

$\frac{20}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{5} (x)} \sin (x) + \cos (2 x)$

Étape 3.4.3.5

Convertissez de $\frac{1}{\cos^{5} (x)}$ à $\sec^{5} (x)$ .

$\frac{20}{1} \sec^{5} (x) \sin (x) + \cos (2 x)$

Étape 3.4.3.6

Divisez $20$ par $1$ .

$20 \sec^{5} (x) \sin (x) + \cos (2 x)$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 20 \sec^{5} (x) \sin (x) + \cos (2 x)$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 20 \sec^{5} (x) \sin (x) + \cos (2 x)$