Calcul infinitésimal Exemples

$y = 4 x {(3 x - 9)}^{- 4}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (4 x {(3 x - 9)}^{- 4})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x {(3 x - 9)}^{- 4}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x {(3 x - 9)}^{- 4}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x {(3 x - 9)}^{- 4}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(3 x - 9)}^{- 4}$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [{(3 x - 9)}^{- 4}] + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 4}$ et $g (x) = 3 x - 9$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x - 9$ .

$4 (x (\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d x} [3 x - 9]) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 4$ .

$4 (x (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} [3 x - 9]) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x - 9$ .

$4 (x (- 4 {(3 x - 9)}^{- 5} \frac{d}{d x} [3 x - 9]) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4

Différenciez.

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Étape 3.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$4 (x (- 4 {(3 x - 9)}^{- 5} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9])) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (x (- 4 {(3 x - 9)}^{- 5} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 (x (- 4 {(3 x - 9)}^{- 5} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9])) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$4 (x (- 4 {(3 x - 9)}^{- 5} (3 + \frac{d}{d x} [- 9])) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4.5

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 (x (- 4 {(3 x - 9)}^{- 5} (3 + 0)) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.6.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$4 (x (- 4 {(3 x - 9)}^{- 5} \cdot 3) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4.6.2

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$4 (x (- 12 {(3 x - 9)}^{- 5}) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 (x (- 12 {(3 x - 9)}^{- 5}) + {(3 x - 9)}^{- 4} \cdot 1)$

Étape 3.4.8

Multipliez ${(3 x - 9)}^{- 4}$ par $1$ .

$4 (x (- 12 {(3 x - 9)}^{- 5}) + {(3 x - 9)}^{- 4})$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 (x (- 12 {(3 x - 9)}^{- 5})) + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Étape 3.5.2

Multipliez $- 12$ par $4$ .

$- 48 x {(3 x - 9)}^{- 5} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Étape 3.5.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 48 x \frac{1}{{(3 x - 9)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Étape 3.5.3.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.5.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x - 9$ .

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Étape 3.5.3.2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$- 48 x \frac{1}{{(3 (x) - 9)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Étape 3.5.3.2.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 9$ .

$- 48 x \frac{1}{{(3 x + 3 \cdot - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Étape 3.5.3.2.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 x + 3 \cdot - 3$ .

$- 48 x \frac{1}{{(3 (x - 3))}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Étape 3.5.3.2.2

Appliquez la règle de produit à $3 (x - 3)$ .

$- 48 x \frac{1}{3^{5} {(x - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Étape 3.5.3.2.3

Élevez $3$ à la puissance $5$ .

$- 48 x \frac{1}{243 {(x - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Étape 3.5.3.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.5.3.3.1

Factorisez $3$ à partir de $- 48 x$ .

$3 (- 16 x) \frac{1}{243 {(x - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Étape 3.5.3.3.2

Factorisez $3$ à partir de $243 {(x - 3)}^{5}$ .

$3 (- 16 x) \frac{1}{3 (81 {(x - 3)}^{5})} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Étape 3.5.3.3.3

Annulez le facteur commun.

$3 (- 16 x) \frac{1}{3 (81 {(x - 3)}^{5})} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Étape 3.5.3.3.4

Réécrivez l’expression.

$- 16 x \frac{1}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Étape 3.5.3.4

Associez $- 16$ et $\frac{1}{81 {(x - 3)}^{5}}$ .

$x \frac{- 16}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Étape 3.5.3.5

Associez $x$ et $\frac{- 16}{81 {(x - 3)}^{5}}$ .

$\frac{x \cdot - 16}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Étape 3.5.3.6

Déplacez $- 16$ à gauche de $x$ .

$\frac{- 16 \cdot x}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Étape 3.5.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{16 \cdot x}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Étape 3.5.3.8

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 \frac{1}{{(3 x - 9)}^{4}}$

Étape 3.5.3.9

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.5.3.9.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x - 9$ .

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Étape 3.5.3.9.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$- \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 \frac{1}{{(3 (x) - 9)}^{4}}$

Étape 3.5.3.9.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 9$ .

$- \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 \frac{1}{{(3 x + 3 \cdot - 3)}^{4}}$

Étape 3.5.3.9.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 x + 3 \cdot - 3$ .

$- \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 \frac{1}{{(3 (x - 3))}^{4}}$

Étape 3.5.3.9.2

Appliquez la règle de produit à $3 (x - 3)$ .

$- \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 \frac{1}{3^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Étape 3.5.3.9.3

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$- \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 \frac{1}{81 {(x - 3)}^{4}}$

Étape 3.5.3.10

Associez $4$ et $\frac{1}{81 {(x - 3)}^{4}}$ .

$- \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + \frac{4}{81 {(x - 3)}^{4}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + \frac{4}{81 {(x - 3)}^{4}}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + \frac{4}{81 {(x - 3)}^{4}}$